Condizione necessaria e sufficiente
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In logica, le espressioni necessario e sufficiente descrivono le condizioni di una proposizione. Una condizione necessaria e sufficiente di una proposizione è quell'evento che è vero se e solo se la proposizione è vera.
- La condizione necessaria è quella che deve essere soddisfatta affinché la proposizione sia vera. Formalmente, una proposizione P è una condizione necessaria per Q se Q implica P. Ad esempio, la facoltà di respirare è necessaria per continuare a vivere: se non si avesse possibilità di respirare, non si sarebbe più vivi. Il respiro non è sufficiente per rimanere in vita, perché si può morire anche respirando. È necessario che un numero primo maggiore di due sia dispari, ma non è sufficiente per p essere dispari per essere primo.
- La condizione sufficiente è quella che, se soddisfatta, garantisce la verità della proposizione. Formalmente, una proposizione P è sufficiente per Q se P implica Q. Ad esempio, saltare è sufficiente per abbandonare il suolo, ma non è necessario per abbandonare il suolo, in quanto ci si può innalzare in vari modi. La possibilità di un numero di essere diviso per sei è sufficiente affinché il numero sia pari, ma non è necessaria (esistono numeri pari non divisibili per sei).
- Alcune condizioni possono essere necessarie e sufficienti. Ad esempio, per una matrice, il fatto che il suo determinante sia diverso da zero è condizione necessaria e sufficiente affinché essa sia invertibile.
Indice |
[modifica] Condizioni necessarie
Per capire se P è necessaria per Q bisogna chiedersi se vale la formulazione "se P non è vera, allora Q non è vera". Per contrapposizione, questo è uguale a dire "ogni volta che Q è vera, anche P è vera". La relazione logica tra di esse è espressa da "Se Q allora P" (in inglese: "If Q, then P") o "P 
Q" (Q implica P), e si può anche trovare scritta come "P, se Q", "P ogni volta che Q" o "P quando Q". In molti casi, una condizione necessaria è parte di una gamma di condizioni, come mostrato nell'esempio 4.
Esempio 1: Si consideri la proposizione "Essere un dittatore è necessario per essere presidente a vita"; se non si è dittatore, allora è impossibile ricoprire tale carica, ma se si ricopre tale carica, allora si è automaticamente dittatore.
Esempio 2: Si supponga che ogni lampo causi un tuono (per quanto debole possa essere il tuono) e si supponga che per "tuono" si intenda il suono causato dal lampo. Allora si potrebbe dire che "il tuono è necessario per il lampo", perché se non ci fosse alcun tuono, allora non ci sarebbe alcun lampo. Cioè, se avviene il lampo, allora deve crearsi anche un tuono.
Esempio 3: Un alimentatore funzionante è necessario per il funzionamento di un computer.
Esempio 4: Come esempio di condizione non necessaria, si consideri un rettangolo e un quadrato. Si noti che essere un quadrato non è condizione necessaria per essere rettangolo, in quanto ci sono rettangoli che non sono quadrati. D'altra parte, essere un rettangolo è necessario per essere un quadrato, con l'ulteriore condizione dei lati uguali.
[modifica] Condizioni sufficienti
Affermare che P è sufficiente per Q equivale a dire che "se P è vera, allora Q è vera", oppure che "ogni qualvolta si avvera P, si avvera anche Q". La relazione logica è espressa dall'espressione "Se P allora Q" (o in inglese: "If P then Q"), oppure "P 
Q", e si può anche trovare scritta come "P implica Q."
Esempio 1: Per semplicità, si supponga che ogni persona sia biologicamente maschio o femmina, e che un padre sia un maschio biologico che ha dato vita a un figlio. Allora "essere padre" è condizione sufficiente per essere maschio.
Esempio 2: Come nel paragrafo precedente, si supponga che il tuono sia causato dal lampo. Allora "il tuono è sufficiente per il lampo", perché se si sente un tuono, allora deve essere stato generato da qualche lampo.
Esempio 3: Un computer funzionante è condizione sufficiente per supporre che esista un alimentatore funzionante, un monitor funzionante etc.
Esempio 4: Essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo, ed è anche sufficiente per avere i lati di uguale lunghezza.
Esempio 5: Come esempio di condizione non sufficiente, si consideri l'esempio "uomo/donna". Essere uomo non è sufficiente per essere padre, perché ci sono uomini che non hanno figli.
[modifica] Relazione tra "necessario" e "sufficiente"
La proposizione "P è sufficiente per Q" è lo stesso che dire "Q è necessario per P", perché in entrambe le proposizioni "P implica Q".
Esempio: "Essere un rettangolo è necessario per essere un quadrato". Di conseguenza, "essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo".
[modifica] Condizioni necessarie e sufficienti
Dire che P è necessaria e sufficiente per Q equivale a dire due cose:
- P è necessaria per Q (P Q)
- P è sufficiente per Q (P Q)
Ad esempio, se Maria mangia sempre carne di lunedì, ma mai in ogni altro giorno, si può dire che "essere lunedì è condizione necessaria perché Maria mangi carne". Questo è vero perché Maria non mangia carne in nessun altro giorno che non sia lunedì. Ma "essere lunedì è condizione sufficiente perché Maria mangi carne", perché è vero che Maria mangerà sempre carne il lunedì.
Considerando l'esempio tuono/lampo come mostrato nelle precedenti sezioni, "il tuono è necessario per il lampo", perché se non ci sono tuoni, allora non ci sono stati lampi che li hanno creati. "Il tuono è sufficiente per il lampo" perché il tuono deve essere stato originato da un lampo.
La relazione tra essere un quadrato ed essere un rettangolo non è necessaria e sufficiente, nonostante l'ordinamento delle condizioni "quadrato" e "rettangolo". "Essere un rettangolo è necessario per essere quadrato", e "essere un rettangolo non è sufficiente per essere quadrato". "Essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo", ma "essere un quadrato non è necessario per essere un rettangolo". Come mostrato nelle Condizioni necessarie (Esempio 4) e nelle Condizioni sufficienti (Esempio 4), ci sono condizioni multiple coinvolte nella relazione rettangolo-quadrato.
Nel calendario gregoriano, c'è un esempio di questo concetto. Febbraio è l'unico mese che ha meno di 30 giorni, così la relazione si può utilizzare in due modi: si può associare l'idea "febbraio - meno di 30 giorni" oppure "meno di 30 giorni - febbraio". Se si specifica però la durata del mese (28 o 29 giorni), allora si deduce immediatamente che si sta parlando di febbraio, ma se si menziona febbraio, è necessaria qualche altra indicazione (l'anno) per sapere se possiede 28 o 29 giorni.
"P è necessaria e sufficiente per Q" esprime lo stesso concetto di "P sse Q" (P
Q).
[modifica] Collegamenti esterni
- Enciclopedia filosofica di Stanford: Condizioni necessarie e sufficienti (1)
- Web tutorial: Condizioni necessarie e sufficienti (2)
- Simon Fraser University: Concetti ed esempi
