Teoria spettrale

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In matematica, in particolare in analisi funzionale e algebra lineare, per teoria spettrale si intende l'estensione di alcuni concetti propri dell'algebra lineare, come quelli di autovettore e autovalore o spettro, ad un contesto matematico più generale, che ne consente l'utilizzo in ambiti molto diversi fra loro.[1][2] In particolare, la teoria spettrale è legata allo studio delle funzioni analitiche.[3]

Il nome di "teoria spettrale" è stato introdotto da David Hilbert nella sua formulazione originale della teoria degli spazi di Hilbert. L'iniziale versione del teorema spettrale era tuttavia una versione del teorema dell'asse principale di un ellissoide nell'ambito delle forme quadratiche in infinite variabili. Successivamente la teoria spettrale viene sfruttata per di descrivere le caratteristiche dello spettro atomico in meccanica quantistica. Dopo la prima formulazione di Hilbert, difatti, lo sviluppo della teoria degli spazi di Hilbert e la teoria spettrale per operatori normali proseguì parallelamente alle esigenze del mondo fisico grazie al contributo di diverse personalità, tra cui von Neumann.[4]

In relazione con l'analisi armonica, la trasformata di Fourier sull'asse reale può essere vista come teoria spettrale per l'operatore di derivazione (considerando che le funzioni esponenziali sono le rispettive autofunzioni), anche se per avere una completa descrizione è necessario utilizzare autofunzioni generalizzate (ad esempio in uno spazio di Hilbert allargato).

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema spettrale stabilisce le condizioni per cui un operatore lineare può essere scritto come somma di operatori più semplici, utilizzando una base composta dalle autofunzioni dell'operatore, in una procedura tipica dell'autoteoria.

Utilizzando la notazione bra-ket, una funzione f(x) che agisce sulle coordinate (x_1, x_2, x_3, \dots) si può scrivere come:

 f(x)=\langle x, f\rangle

Il vettore |f\rangle è solitamente visto come un elemento di uno spazio di Hilbert, e scegliendo il prodotto interno standard si definisce la sua norma:

 \|f\|^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx

dove ^* denota il complesso coniugato. Nel seguito la trattazione è valida per un prodotto interno generico.

Un operatore è, in tale contesto, una funzione (solitamente lineare) che agisce su un'altra funzione. Si consideri ad esempio l'operatore:

 L = | k_1 \rangle \langle b_1 |

L'azione di L su f è il prodotto di una nuova funzione  | k_1 \rangle per il prodotto scalare \langle b_1 | f \rangle :

 L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle

In modo più generale si può considerare un operatore definito nel seguente modo:

 L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| +  \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| +   \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots

dove  \{ \, \lambda_i \, \} sono scalari,  \{ \, | e_i \rangle \, \} formano una base e  \{ \, \langle f_i | \, \} è la base dello spazio duale. La relazione tra le due basi è in parte descritta da:

 \langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij}

Se si può utilizzare tale formalismo, i numeri  \{ \, \lambda_i \, \} sono gli autovalori di L e le funzioni  \{ \, | e_i \rangle \, \} sono le rispettive autofunzioni.[5]

L'operatore identità, ad esempio, può essere scritto come:

I = \sum _{i=1} ^{n} | e_i \rangle \langle f_i |

dove  \{ \, | e_i \rangle \, \} e  \{ \, \langle f_i | \, \} sono ancora due basi coduali tali che  \langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij} . Tale relazione è la risoluzione all'identità, anche detta rappresentazione dell'identità, e gode della proprietà:

 I^n = I \qquad \forall n \in \N

Applicando l'identità a | \psi \rangle si ottiene l'espressione di \psi in termini delle funzioni di base  \{ \, e_i \, \}:

I |\psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | \psi \rangle =  \sum_{i=1}^{n} \ c_i | e_i \rangle  \qquad I |\psi \rangle = |\psi \rangle

e tale relazione è generalizzata dall'espansione in serie di Fourier di \psi in funzione di  \{ \, e_i \, \}. A partire da ciò, la generica equazione:

O | \psi \rangle = | h \rangle

può essere scritta nelle basi  \{ \, e_i \, \} e  \{ \, f_i \, \} nel seguente modo:

 O | \psi \rangle = O( I |\psi \rangle) = \sum_{i=1}^{n} c_i \left( O | e_i \rangle \right)  =  \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i |  h \rangle

Si possono inoltre determinare i coefficienti c_j:

\langle f_j|O| \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n}  c_i \langle f_j| O | e_i \rangle  =  \sum_{i=1}^{n} \langle f_j| e_i \rangle \langle f_i | h \rangle  = \langle f_j |  h \rangle \qquad \forall j

In definitiva, dato un operatore lineare L tale per cui:

L | e_i \rangle = \lambda_i | e_i \rangle

dove  \{ \, \lambda_i \, \} sono i suoi autovalori, la risoluzione dell'identità consente di scrivere:

LI = L = \sum_{i=1}^{n} L | e_i \rangle \langle f_i|  = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i | e_i \rangle \langle f_i |

La teoria spettrale si occupa quindi di stabilire la natura e l'esistenza di una base di funzioni e della rispettiva base duale.

Spettro di operatori limitati[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spettro (matematica).

Dato un operatore lineare limitato T definito in uno spazio di Banach (o più in generale in uno spazio vettoriale topologico[6]), si consideri la trasformazione:

 R_{\zeta} = \left( \zeta I -  T \right)^{-1}

dove I è l'identità e \zeta un numero complesso. L'inverso T^{-1} di T è definito come:

T T^{-1} = T^{-1} T = I

Se l'inverso esiste, T è detto regolare, mentre se non esiste è detto singolare.

L'insieme risolvente \rho(T) di T è l'insieme dei numeri complessi \zeta tali che  R_{\zeta} esiste ed è limitato. Lo spettro \sigma(T) di T è l'insieme dei numeri complessi \zeta tali che  R_{\zeta} non esiste oppure non è limitato. La funzione R_{\zeta} (quando esiste) è detta risolvente di T. Lo spettro è quindi il complementare del risolvente nel piano complesso.[7] Ogni autovalore di T appartiene allo spettro \sigma(T), ma \sigma(T) non si limita a contenere solo autovalori.[8]

Lo spettro include l'insieme degli autovalori detti autovalori approssimati, che sono i \lambda tali che \lambda I - T non è limitato oppure non esiste. Questo rende possibile una differente suddivisione dello spettro in spettro puntuale approssimato, cioè l'insieme dei numeri \lambda per i quali esiste una successione di vettori unitari x_n tale che:

\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0

e lo spettro residuo puro, cioè l'insieme dei numeri \lambda per i quali (\lambda I - T)^{-1} è limitato e l'immagine di \lambda I - T è un sottospazio proprio di X. Si dimostra che l'insieme risolvente \rho(T) è un sottoinsieme aperto di \C, e che il risolvente R_\lambda (T) è una funzione analitica definita su un sottoinsieme D aperto e connesso del piano complesso a valori nello spazio degli operatori limitati su X. In particolare, R_\lambda (T) è analitica per ogni sottoinsieme massimale connesso di D.[9]

L'operatore risolvente[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Delta di Dirac e Funzione di Green.

Il risolvente R_\lambda può essere valutato a partire dagli autovalori e dalle autofunzioni di T. Applicando R_\lambda ad una funzione arbitraria \varphi si ha:

R_\lambda |\varphi \rangle = (\lambda - T)^{-1}\ |\varphi \rangle = \Sigma_{i=1}^n  \frac {1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i, \varphi \rangle

Tale funzione ha poli nel piano complesso in corrispondenza degli autovalori di T. Utilizzando allora il metodo dei residui si ottiene:

\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1} \ |\varphi \rangle = -\Sigma_{i=1}^n \  |e_i \rangle \  \langle f_i, \varphi \rangle  = -|\varphi \rangle

dove l'integrale è preso lungo un bordo C che include tutti gli autovalori. Supponendo che \varphi sia definita sulle coordinate \{x_i\}, ovvero:[10][11]

\langle x, \ \varphi \rangle = \varphi (x_1, \ x_2, ... \ ) \qquad \langle x , \ y \rangle = \delta (x-y) = \delta(x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \dots)

si ha:

\begin{align}
\left\langle x,\  \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1}\varphi \right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ \langle x,\  (\lambda - T)^{-1} \ \varphi \rangle\\
&= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \int \ dy\ \ \langle x,\  (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle  \ \langle y , \ \varphi \rangle
\end{align}

La funzione G(x, y; \lambda) definita come:

\begin{align}
G(x,\ y;\ \lambda) &= \langle x,\  (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle \\
&= \Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^n \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i,\ (\lambda - T)^{-1}e_j \rangle \langle f_j , \ y\rangle \\
&= \Sigma_{i=1}^n \frac{ \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle }{\lambda - \lambda_i} \\
&= \Sigma_{i=1}^n \frac{ e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i}
\end{align}

è la funzione di Green per T e soddisfa:[12]

\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ G(x,\ y;\ \lambda) = -\Sigma_{i=1}^n  \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle = -\langle x, \ y\rangle = -\delta (x-y)

Funzione di Green ed equazione agli autovalori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione integrale.

Si consideri l'equazione agli autovalori per l'operatore O:

(O-\lambda I ) |\psi \rangle = |h \rangle

che esplicitando le coordinate si scrive:

\int \langle x, (O-\lambda I)y \rangle \langle y, \psi \rangle dy = h(x)

La funzione di Green è:

\langle y, G(\lambda) z\rangle = \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle = G(y, z; \lambda)

e soddisfa:

\int \langle x, (O - \lambda I) y \rangle \langle y, G(\lambda) z \rangle dy = \int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle dy = \langle x , z \rangle = \delta (x-z)

Utilizzando tale proprietà si ha:

\int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle G(y, z; \lambda ) dy = \delta (x-z)

Moltiplicando entrambi i membri per h(z) e integrando si ottiene:

\int dz h(z) \int dy \langle x, (O-\lambda I)y \rangle G(y, z; \lambda)=\int dy \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \int dz h(z)G(y, z; \lambda) = h(x)

il che suggerisce che la soluzione sia:

\psi(x) = \int h(z) G(x, z; \lambda) dz

Ovvero, si può trovare la funzione \psi(x) che soddisfa l'equazione agli autovalori dell'operatore se si può calcolare lo spettro di O. Si può costruire la funzione G, per esempio, utilizzando la relazione:

G(x, z; \lambda)  = \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(z)}{\lambda - \lambda_i}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jean Alexandre Dieudonné, History of functional analysis, Elsevier, 1981, ISBN 0-444-86148-3.
  2. ^ William Arveson, Chapter 1: spectral theory and Banach algebras in A short course on spectral theory, Springer, 2002, ISBN 0-387-95300-0.
  3. ^ Viktor Antonovich Sadovnichiĭ, Chapter 4: The geometry of Hilbert space: the spectral theory of operators in Theory of Operators, Springer, 1991, pp. 181 et seq, ISBN 0-306-11028-8.
  4. ^ John von Neumann, The mathematical foundations of quantum mechanics; Volume 2 in Princeton Landmarks in Mathematics series, Reprint of translation of original 1932, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02893-1.
  5. ^ Bernard Friedman, Chapter 2: Spectral theory of operators in op. cit., 1990, p. 57, ISBN 0-486-66444-9.
  6. ^ Helmut H. Schaefer, Manfred P. H. Wolff, Topological vector spaces, 2nd, Springer, 1999, p. 36, ISBN 0-387-98726-6.
  7. ^ Edgar Raymond Lorch, Spectral Theory, Reprint of Oxford 1962, Textbook Publishers, 2003, p. 89, ISBN 0-7581-7156-0.
  8. ^ Nicholas Young, op. cit, p. 81, ISBN 0-521-33717-8.
  9. ^ Reed, Simon, Pag. 190
  10. ^ PAM Dirac, op. cit, pp. 65 ff, ISBN 0-19-852011-5.
  11. ^ PAM Dirac, op. cit, pp. 60 ff, ISBN 0-19-852011-5.
  12. ^ Bernard Friedman, op. cit, pp. 214, Eq. 2.14, ISBN 0-486-66444-9.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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