Teoria spettrale

In matematica, in particolare in analisi funzionale e algebra lineare, per teoria spettrale si intende l'estensione di alcuni concetti propri dell'algebra lineare, come quelli di autovettore e autovalore o spettro, ad un contesto matematico più generale, che ne consente l'utilizzo in ambiti molto diversi fra loro. In particolare, la teoria spettrale è legata allo studio delle funzioni analitiche.

Introduzione

Il teorema spettrale stabilisce le condizioni per cui un operatore lineare può essere scritto come somma di operatori più semplici, utilizzando una base composta dalle autofunzioni dell'operatore, in una procedura tipica dell'autoteoria.

Utilizzando la notazione bra-ket, una funzione $f(x)$ che agisce sulle coordinate $(x_1, x_2, x_3, \dots)$ si può scrivere come:

$f(x)=\langle x, f\rangle$

Il vettore $|f\rangle$ è solitamente visto come un elemento di uno spazio di Hilbert, e scegliendo il prodotto interno standard si definisce la sua norma:

$||f||^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx$

dove $^*$ denota il complesso coniugato. Nel seguito la trattazione è valida per un prodotto interno generico.

Un operatore è, in tale contesto, una funzione (solitamente lineare) che agisce su un'altra funzione. Si consideri ad esempio l'operatore:

$L = | k_1 \rangle \langle b_1 |$

L'azione di $L$ su $f$ è il prodotto di una nuova funzione $| k_1 \rangle$ per il prodotto scalare $\langle b_1 | f \rangle$:

$L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle$

In modo più generale si può considerare un operatore definito nel seguente modo:

$L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| + \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| + \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots$

dove $\{ \, \lambda_i \, \}$ sono scalari, $\{ \, | e_i \rangle \, \}$ formano una base e $\{ \, \langle f_i | \, \}$ è la base dello spazio duale. La relazione tra le due basi è in parte descritta da:

$\langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij}$

Se si può utilizzare tale formalismo, i numeri $\{ \, \lambda_i \, \}$ sono gli autovalori di $L$ e le funzioni $\{ \, | e_i \rangle \, \}$ sono le rispettive autofunzioni.

L'operatore identità, ad esempio, può essere scritto come:

$I = \sum _{i=1} ^{n} | e_i \rangle \langle f_i |$

dove $\{ \, | e_i \rangle \, \}$ e $\{ \, \langle f_i | \, \}$ sono ancora due basi coduali tali che $\langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij}$. Tale relazione è la risoluzione all'identità, anche detta rappresentazione dell'identità, e gode della proprietà:

$I^n = I \qquad \forall n \in \N$

Applicando l'identità a $| \psi \rangle$ si ottiene l'espressione di $\psi$ in termini delle funzioni di base $\{ \, e_i \, \}$:

$I |\psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} \ c_i | e_i \rangle \qquad I |\psi \rangle = |\psi \rangle$

e tale relazione è generalizzata dall'espansione in serie di Fourier di $\psi$ in funzione di $\{ \, e_i \, \}$. A partire da ciò, la generica equazione:

$O | \psi \rangle = | h \rangle$

può essere scritta nelle basi $\{ \, e_i \, \}$ e $\{ \, f_i \, \}$ nel seguente modo:

$O | \psi \rangle = O( I |\psi \rangle) = \sum_{i=1}^{n} c_i \left( O | e_i \rangle \right) = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | h \rangle$

Si possono inoltre determinare i coefficienti $c_j$:

$\langle f_j|O| \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle f_j| O | e_i \rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle f_j| e_i \rangle \langle f_i | h \rangle = \langle f_j | h \rangle \qquad \forall j$

In definitiva, dato un operatore lineare $L$ tale per cui:

$L | e_i \rangle = \lambda_i | e_i \rangle$

dove $\{ \, \lambda_i \, \}$ sono i suoi autovalori, la risoluzione dell'identità consente di scrivere:

$LI = L = \sum_{i=1}^{n} L | e_i \rangle \langle f_i| = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i | e_i \rangle \langle f_i |$

La teoria spettrale si occupa quindi di stabilire la natura e l'esistenza di una base di funzioni e della rispettiva base duale.

Spettro di operatori limitati

Per approfondire, vedi Spettro (matematica).

Sia $T$ un operatore lineare limitato definito su uno spazio di Banach complesso $X$. Si definisce insieme risolvente di $T$ l'insieme $\rho(T)$ dei numeri complessi $\lambda$ tali per cui l'operatore $\lambda I - T$ è invertibile, ovvero ha un inverso limitato. Il risolvente di $T$ la funzione:

$R_\lambda (T) = (\lambda I - T)^{-1} \$

e si definisce spettro di $T$ l'insieme $\sigma(T)$ dei numeri complessi $\lambda$ che non appartengono all'insieme risolvente, ovvero tali per cui l'operatore $\lambda I - T$ non è invertibile.

Lo spettro di un operatore non può essere vuoto, e si possono distinguere tre suoi sottoinsiemi disgiunti:

• Si definisce spettro puntuale o discreto di $T$ l'insieme degli autovalori di $T$, ovvero i numeri complessi $\lambda$ tali che:

$T(x) = \lambda x \qquad x \ne 0 \$

Gli autovalori sono quindi i numeri tali per cui $T(x) - \lambda x = 0$, ovvero $(T - \lambda I)(x) = 0$: la funzione $T - \lambda I$ non è invertibile se il suo nucleo non è costituito dal solo vettore nullo, ovvero esistono dei vettori $x$ tali per cui esiste un $\lambda$ tale che $T(x) - \lambda x = 0$. In modo equivalente, $\lambda$ è autovalore di $T$ se e solo se $T - \lambda I$ non è iniettivo, oppure se e solo se $\det(T - \lambda I) =0$.

• Si definisce spettro continuo di $T$ l'insieme dei numeri $\lambda$ tali per cui $(\lambda I - T)^{-1}$ non è limitato, pur essendo densamente definito.

• Si definisce spettro residuo di $T$ l'insieme dei numeri $\lambda$ che non sono autovalori e tali per cui l'operatore $\lambda I - T$ non ha immagine densa.

Lo spettro include l'insieme degli autovalori detti autovalori approssimati, che sono i $\lambda$ tali che $\lambda I - T$ non è limitato oppure non esiste. Questo rende possibile una differente suddivisione dello spettro in spettro puntuale approssimato, cioè l'insieme dei numeri $\lambda$ per i quali esiste una successione di vettori unitari $x_n$ tale che:

$\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0$

e lo spettro residuo puro, cioè l'insieme dei numeri $\lambda$ per i quali $(\lambda I - T)^{-1}$ è limitato e l'immagine di $\lambda I - T$ è un sottospazio proprio di $X$. Si dimostra che l'insieme risolvente $\rho(T)$ è un sottoinsieme aperto di $\C$, e che il risolvente $R_\lambda (T)$ è una funzione analitica definita su un sottoinsieme $D$ aperto e connesso del piano complesso a valori nello spazio degli operatori limitati su $X$. In particolare, $R_\lambda (T)$ è analitica per ogni sottoinsieme massimale connesso di $D$.

L'operatore risolvente

Per approfondire, vedi Delta di Dirac e Funzione di Green.

Il risolvente $R_\lambda$ può essere valutato a partire dagli autovalori e dalle autofunzioni di $T$. Applicando $R_\lambda$ ad una funzione arbitraria $\varphi$ si ha:

$R_\lambda |\varphi \rangle = (\lambda - T)^{-1}\ |\varphi \rangle = \Sigma_{i=1}^n \frac {1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i, \varphi \rangle$

Tale funzione ha poli nel piano complesso in corrispondenza degli autovalori di $T$. Utilizzando allora il metodo dei residui si ottiene:

$\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1} \ |\varphi \rangle = -\Sigma_{i=1}^n \ |e_i \rangle \ \langle f_i, \varphi \rangle = -|\varphi \rangle$

dove l'integrale è preso lungo un bordo $C$ che include tutti gli autovalori. Supponendo che $\varphi$ sia definita sulle coordinate $\{x_i\}$, ovvero:

$\langle x, \ \varphi \rangle = \varphi (x_1, \ x_2, ... \ ) \qquad \langle x , \ y \rangle = \delta (x-y) = \delta(x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \dots)$

si ha:

$\begin{align} \left\langle x,\ \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1}\varphi \right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ \langle x,\ (\lambda - T)^{-1} \ \varphi \rangle\\ &= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \int \ dy\ \ \langle x,\ (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle \ \langle y , \ \varphi \rangle \end{align}$

La funzione $G(x, y; \lambda)$ definita come:

$\begin{align} G(x,\ y;\ \lambda) &= \langle x,\ (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle \\ &= \Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^n \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i,\ (\lambda - T)^{-1}e_j \rangle \langle f_j , \ y\rangle \\ &= \Sigma_{i=1}^n \frac{ \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle }{\lambda - \lambda_i} \\ &= \Sigma_{i=1}^n \frac{ e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i} \end{align}$

è la funzione di Green per $T$ e soddisfa:

$\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ G(x,\ y;\ \lambda) = -\Sigma_{i=1}^n \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle = -\langle x, \ y\rangle = -\delta (x-y)$

Funzione di Green ed equazione agli autovalori

Per approfondire, vedi Equazione integrale.

Si consideri l'equazione agli autovalori per l'operatore $O$:

$(O-\lambda I ) |\psi \rangle = |h \rangle$

che esplicitando le coordinate si scrive:

$\int \langle x, (O-\lambda I)y \rangle \langle y, \psi \rangle dy = h(x)$

La funzione di Green è:

$\langle y, G(\lambda) z\rangle = \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle = G(y, z; \lambda)$

e soddisfa:

$\int \langle x, (O - \lambda I) y \rangle \langle y, G(\lambda) z \rangle dy = \int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle dy = \langle x , z \rangle = \delta (x-z)$

Utilizzando tale proprietà si ha:

$\int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle G(y, z; \lambda ) dy = \delta (x-z)$

Moltiplicando entrambi i membri per $h(z)$ e integrando si ottiene:

$\int dz h(z) \int dy \langle x, (O-\lambda I)y \rangle G(y, z; \lambda)=\int dy \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \int dz h(z)G(y, z; \lambda) = h(x)$

il che suggerisce che la soluzione sia:

$\psi(x) = \int h(z) G(x, z; \lambda) dz$

Ovvero, si può trovare la funzione $\psi(x)$ che soddisfa l'equazione agli autovalori dell'operatore se si può calcolare lo spettro di $O$. Si può costruire la funzione $G$, per esempio, utilizzando la relazione:

$G(x, z; \lambda) = \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(z)}{\lambda - \lambda_i}$

Bibliografia

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• (EN) John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. ISBN 0-691-02893-1

Voci correlate

• Autofunzione
• Autovettore e autovalore
• Delta di Dirac
• Funzione di Green
• Operatore autoaggiunto
• Operatore lineare limitato
• Spettro (matematica)
• Teorema spettrale
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

• Evans M. Harrell II: A Short History of Operator Theory
• Gregory H. Moore (1995). The axiomatization of linear algebra: 1875-1940. Historia Mathematica 22: 262–303. DOI:10.1006/hmat.1995.1025.

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