Equazione integrale

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Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

Equazioni integrali lineari[modifica | modifica sorgente]

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita \varphi(x) ha la forma:

A(x)\varphi(x) + \int_\Omega K(x,s) \varphi(s) \ ds = f(x) \qquad x \in D

dove K(x,z) si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione A è detta coefficiente e f il termine noto. L'insieme \Omega è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui K e A sono matrici e f, \varphi funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se f=0 l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

y(x) = \int_{a}^{x} K(x,z) y(z) \ dz + f(x)

dove y(x) è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

y(x) = \int_{a}^{b} K(x,z) y(z) \ dz + f(x)

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

Equazioni integrali non lineari[modifica | modifica sorgente]

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,F(x, t, \varphi(t))\,dt

dove F è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

 \varphi(x) =  \lambda \int_\Omega K(x,s , \varphi(s))\,ds \qquad x \in \Omega

dove \Omega è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo K(x,s ,t) è una funzione data definita per x, s \in \Omega e t \in \R.

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

 \varphi(x) =  \lambda \int_\Omega K(x,s)f(s,\varphi(s))\,ds \qquad x \in \Omega

dove f(s,t) e K(x,s) sono funzioni date.

Soluzione numerica[modifica | modifica sorgente]

Spesso le quazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

 \sum_{j=1}^n w_j K\left (s_i,t_j \right ) u(t_j)=f(s_i) \qquad i=0, 1, \cdots, n

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

u(t_0),u(t_1),\cdots,u(t_n)

Equazione di Wiener-Hopf[modifica | modifica sorgente]

Equazioni integrali della forma:

 y(t) =\lambda x(t)+\int^{\infty}_0 k(t-s)x(s)ds\qquad 0\leq t<\infty

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

Serie di potenze come soluzione[modifica | modifica sorgente]

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma K(xt) e la trasformata di Mellin di K(t) esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

  g(s)=s \int_{0}^{\infty} dt K(st) f(t)

nella forma di serie di potenze:

 f(t)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{M(n+1)}x^{n}

dove:

 g(s)= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} s^{-n}  \qquad M(n+1)=\int_{0}^{\infty}dtK(t)t^{n}

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione g(s) e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

Equazioni agli autovalori[modifica | modifica sorgente]

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

 \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i

di cui si fornisce una versione continua:

 \int K(x,y)\varphi(y) \mathrm{d}y = \lambda \varphi(x)

in cui il nucleo rimpiazza la matrice M e l'autofunzione \varphi(y) prende il posto degli autovettori v_j.

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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