Operatore lineare continuo

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico è una trasformazione lineare che è continua rispetto alla topologia presente.

Definizione

Un operatore lineare $A$ è continuo in un punto $x_0 \in E$ se per ogni intorno $V$ di $y_0 = A x_0$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $A x \in V$ quando $x \in U$. In particolare, un operatore lineare $A$ definito tra spazi normati $X_1$ e $X_2$ è continuo se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un numero $\delta > 0$ tale che:

$\|x_1 - x_2\|_1 < \delta \quad x_1,x_2 \in X_1$

implica:

$\|Ax_1 - Ax_2\|_2 < \varepsilon$

Data una trasformazione lineare tra spazi normati, essa è continua ovunque se e solo se è continua in un punto, ed è continua se e solo se è limitata.

Operatori tra spazi di Banach

Particolare importanza ricoprono gli operatori tra spazi di Banach. Se $N$ e $M$ sono due spazi di Banach, la famiglia degli operatori lineari continui da $N$ a $M$ si indica con $\mathcal L(N,M)$. Se lo spazio $M$ sono i numeri reali con la struttura euclidea, $\mathcal L(N,M)$ è lo spazio duale topologico di $N$, indicato con $N'$ e contenente i funzionali lineari continui definiti in $N$ e a valori in $M$.

Norma di un operatore

La norma di un operatore tra spazi normati si definisce come:

$\|A\|_{\mathcal L(N,M)}=\sup_{\|x\|_N\leq 1}\|Ax\|_M$

Per ogni $x$ si ha:

$\|Ax\|\leq \|A\| \|x\|$

e di conseguenza:

$\|A(x-y)\|=\|Ax-Ay\|\leq \|A\| \|x-y\|$

Ogni operatore continuo è quindi lipschitziano.

Proprietà

Per la norma di $A$ risultano le seguenti identità:

$\|A\|=\sup_{\|x\|= 1}\|Ax\|=\sup_{x \ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

Per ogni vettore $x$ esistono un operatore lineare continuo, non necessariamente unico, tale che:

$\|A\|=1 \qquad \|Ax\|=\|x\|$

Questo risultato è un corollario del teorema di Hahn-Banach, e da esso deriva a sua volta il corollario della norma:

$\|x\|=\max_{\|A\|\leq 1}\|Ax\|$

Se $\bar F$ è un sottospazio chiuso proprio di $N$ esiste sempre un operatore $A$ non identicamente nullo tale che il suo nucleo coincide con $\bar F$.

Se una successione $(A_n)_n$ di operatori continui converge puntualmente verso una funzione $A$, allora essa è lineare e continua e:

$\|A\|\leq \liminf_n \|A_n\|$

Limitatezza e grafico

Per approfondire, vedi le voci operatore limitato e grafico di una funzione.

Il teorema della funzione aperta afferma che un operatore lineare continuo (e quindi limitato) tra spazi di Banach mappa insiemi aperti in insiemi aperti, ovvero è una funzione aperta. Come conseguenza del teorema, ogni applicazione lineare biettiva e continua tra spazi di Banach possiede un'inversa continua.

Il teorema della funzione aperta permette inoltre di dimostrare il teorema del grafico chiuso. Si supponga che $X$ e $Y$ siano spazi di Banach, e che $T:X \to Y$ sia un operatore lineare. Il teorema afferma che $T$ è limitato se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio $X \times Y$ dotato della topologia prodotto.

Come corollario, il teorema di Hellinger-Toeplitz mostra che un operatore simmetrico $A$ definito su di uno spazio di Hilbert $H$ è limitato. Questo risultato è di notevole importanza in fisica, dove si richiede una qualche forma di simmetria ad alcuni importanti operatori non limitati, come l'energia in meccanica quantistica, che non possono per questo essere definiti ovunque.

Topologia operatoriale

Quando si trattano operatori lineari continui su spazi di Banach o di Hilbert è possibile definire diverse topologie a partire dalla convergenza di successioni di operatori. Sia $T_n$ una successione di operatori lineari continui su uno spazio di Hilbert $H$ (in modo equivalente si può considerare uno spazio di Banach).

• Si dice che $T_n$ converge a $T$ in $H$ nella topologia operatoriale forte se:

$T_n x \to Tx \qquad \forall x \in H$

La topologia operatoriale forte è la topologia localmente convessa meno fine sullo spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert (o di Banach) tale per cui la mappa che associa ad un operatore la sua norma è continua per ogni elemento di $H$.

• Si dice che $T_n$ converge a $T$ in $H$ nella topologia operatoriale debole se:

$F(T_n x) \to F(T x) \qquad \forall F \in H^*$

In modo equivalente, $T_n$ converge a $T$ nella topologia iniziale di $H$. La topologia operatoriale debole è la topologia più debole sullo spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert tale per cui la mappa che associa ad un operatore il numero $(Tx,y)$ è continua per ogni coppia di elementi di $H$.

• Si dice che $T_n$ converge a $T$ in $H$ nella topologia operatoriale uniforme se:

$\|T_n - T\| \to 0 \qquad \forall x \in H$

In modo equivalente:

$\sup_{|x|=1} \Vert T_n x - T x \Vert_H \to 0$

La topologia operatoriale uniforme è più fine delle precedenti.

Inoltre, la topologia generata dagli operatori di classe traccia sullo spazio degli operatori lineari continui su uno spazio di Hilbert è detta topologia ultradebole.

Bibliografia

• Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Funzione continua
• Operatore compatto
• Operatore limitato
• Operatore lineare
• Spazio completo
• Spazio normato
• Trasformazione lineare

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