Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado $n$ è il gruppo delle matrici unitarie $n\times n$ con determinante $1$ dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con $SU(n)$, è un sottogruppo del gruppo unitario $U(n)$, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale $GL(n,\mathbb {C} )$.

Il caso più semplice, ovvero $SU(1)$, è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo $SU(2)$ è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da $SU(2)$ sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è $\{+I,-I\}$.

Proprietà

Il gruppo speciale unitario $SU(n)$ è un gruppo di Lie di dimensione $n^{2}-1$. Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di $SU(n)$ è isomorfo al gruppo ciclico Z_n. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per $n\geq 3$, è Z₂, mentre quello di $SU(2)$ è il gruppo banale.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie ${\mathfrak {su}}(n)$ di $\operatorname {SU} (n)$ consiste di matrici anti-hermitiane $n\times n$ con traccia zero. Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione $n^{2}-1$.

Rappresentazione fondamentale

Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore $i$. Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori $T_{a}$ che sono matrici $n\times n$ complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

$T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)T_{c}$

dove le $f$ sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti $d$ sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

${\begin{aligned}\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\\\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}\,.\end{aligned}}$

Il fattore $i$ nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

$\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}$

Rappresentazione aggiunta

Nella rappresentazione aggiunta $(n^{2}-1)$-dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici $(n^{2}-1)\times (n^{2}-1)$, i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

$\left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.$

Struttura dell'algebra

La complessificazione dell'algebra di Lie ${\mathfrak {su}}(n)$ è ${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$, lo spazio di tutte le matrici complesse $n\times n$ con traccia nulla. Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla, che si identifica con i vettori in $\mathbb {C} ^{n}$ tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le $n(n-1)$ permutazioni di $(1,-1,0,\dots ,0)$.

Una scelta di radici semplici è data da:

${\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}$

Pertanto $SU(n)$ ha rango $n-1$ e il suo diagramma di Dynkin è quello di $A_{n-1}$, cioè una catena lineare di $n-1$ nodi. La matrice di Cartan è

${\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.$

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2)

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Diffeomorfismo con la 3-sfera

Considerando $\alpha ,\beta$ come coppia in $\mathbb {C} ^{2}$ dove $\alpha =a+bi$ e $\beta =c+di$, allora l'equazione $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ diventa

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

che equivale all'equazione della 3-sfera S³. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

dove $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando $\mathbb {C} ^{2}$ diffeomorfo a $\mathbb {R} ^{4}$ e $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ diffeomorfo a $\mathbb {R} ^{8}$). Quindi, la restrizione di $\varphi$ alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con $S^{3}$, è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$, nello specifico $\varphi (S^{3})=SU(2)$.

Pertanto, come varietà, $S^{3}$ è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che $S^{3}$ può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.

Isomorfismo con i quaternioni unitari

La matrice complessa

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

può essere mappata a un quaternione come:

$a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}$

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici $2\times 2$ antihermitiane a traccia nulla. Esplicitamente, ciò significa che

${\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.$

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

$u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,$

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule $u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}$ e $u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni $u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,$ $u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,$ e $u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}$, il commutatore è quindi specificato da

$\left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.$

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

Il gruppo SU(3)

Gruppo di Lie

$SU(3)$ è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso. La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.

Algebra di Lie

I generatori $T$, dell'algebra di Lie ${\mathfrak {su}}(3)$ del gruppo $SU(3)$ nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,$

dove $\lambda$ indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

${\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste $\lambda _{a}$ coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla $H$. Si osservi che $\lambda _{2}$, $\lambda _{5}$ e $\lambda _{7}$ sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

${\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}$

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

$\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}$.

I coefficienti $f$ sono le costanti di struttura, determinate da

${\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}$

mentre tutte le altre $f_{abc}$ che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di ¹⁄₆ di tutte le $f_{abc}$ sono non nulle.

I coefficienti simmetrici $d$ assumono i valori:

${\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}$

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla $H$, con la normalizzazione $\operatorname {tr} (H^{2})=2$, può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in $H$:

${\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}$

dove

$\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].$

Bibliografia

• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.