Bereziniano

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In matematica e fisica teorica, il bereziniano o il superdeterminante è una generalizzazione del determinante al caso di una supermatrice. Il nome deriva dal matematico Felix Berezin[1]. Il bereziniano svolge un ruolo analogo a quello del determinante nel valutare i cambiamenti di coordinate per le integrazioni su una supervarietà[2].

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il bereziniano è definito univocamente dalla definizione delle seguenti due proprietà[3]:

  • \operatorname{Ber}(XY) = \operatorname{Ber}(X)\operatorname{Ber}(Y)
  • \operatorname{Ber}(e^X) = e^{\operatorname{str(X)}}

dove con str(X) indichiamo la supertraccia di X. A differenza del determinante classico, il Bereziniano è definito solo per una supermatrice invertibile.

Il caso più semplice da considerare è il bereziniano di una supermatrice con valori in un campo K. Le supermatrici di questo tipo rappresentano trasformazioni lineari di un superspazio vettoriale su K. Una particolare forma di supermatrice è una matrice a blocchi del tipo:

X = \begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & D\end{bmatrix}

Tale matrice è invertibile se e solo se A e D sono matrici invertibili su K. In questo caso particolare il bereziniano di X è dato da:

\operatorname{Ber}(X) = \det(A)\det(D)^{-1}.

La ragione dell'esponente negativo deriva dalla formula di sostituzione nel caso degli integrali di Grassman.

Più in generale se si considerano le matrici scritte in un'algebra supercommutativa R, una supermatrice è scritta nella forma:

X = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}

dove A e D sono matrici simmetriche, mentre B e C sono matrici antisimmetriche. Siccome la matrice X è invertibile se e solo se A a D sono invertibili in un anello commutativo R0 (la parte pari della sottoalgebra di R). In questo caso il bereziniano è dato da:

\operatorname{Ber}(X) = \det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}

o, equivalentemente, è:

\operatorname{Ber}(X) = \det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.

Queste formule sono ben definite in quanto esse sono relative ai determinanti di matrici i cui elementi sono nell'anello commutativo R0.

Numero di Grassmann[modifica | modifica wikitesto]

In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità \theta_i che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari x_j,

\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

\theta_i\theta_i = 0.

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2n. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

\theta_1, \theta_2, \theta_3
\theta_1 \theta_2, \theta_2 \theta_3, \theta_3 \theta_1
\theta_1 \theta_2 \theta_3

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 23=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann \theta_1 e \theta_2. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da matrici quadrate 2n × 2n. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2n stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
  2. ^ D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
  3. ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
  • D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
  • A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
  • V. S. Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction, Courant Lecture Notes in Mathematics 11, American Mathematical Society, 2004, ISBN 0-8218-3574-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
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