Integrale di Grassman

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In fisica matematica, un integrale Grassman (o un integrale di Berezin) è un modo per definire l'integrazione per funzioni di variabili di Grassmann. Esso non è un integrale nel senso di Lebesgue: si chiama integrazione, perché ha proprietà analoghe e dato che è usato in fisica come una somma "sul cammino" di fermioni, come un'estensione dell'integrazione sul cammino. La tecnica è stata inventata dal fisico David John Candlin nel 1956[1], ma a volte prende il nome dal matematico russo Felix Berezin, che l'ha incluso in un trattato nel suo libro di testo[2].

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'integrale di Berezin è definito come un funzionale lineare, ovvero[3]:

\int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta

dove noi definiamo:

\int \theta \, d\theta = 1  ;
\int  \, d\theta = 0  ;

così che:

\int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.

Queste proprietà definiscono l'integrale in modo univoco.

\int (a\theta+b)\, d\theta = a.

Questa è la funzione più generale, perché ogni funzione omogenea di una variabile Grassmann è costante o è lineare.

Numero di Grassmann[modifica | modifica sorgente]

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità \theta_i che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari x_j,

\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

\theta_i\theta_i = 0.

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2n. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

\theta_1, \theta_2, \theta_3
\theta_1 \theta_2, \theta_2 \theta_3, \theta_3, \theta_1
\theta_1 \theta_2 \theta_3

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 23=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica sorgente]

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann \theta_1 e \theta_2. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2n × 2n matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2n stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti", oltre a definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
  2. ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
  3. ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
  • D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
  • A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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