Permutazione alternata

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In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione \langle c_1,c_2,...,c_n\rangle dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente ci con 1<i<n ha valore compreso fra ci − 1 e ci + 1 .

Si osserva che per n=2,3,... la riflessa di una permutazione alternante è anch'essa una permutazione alternante: ad esempio sono permutazioni alternanti di {1,2,3,4,5} sia 34152 che 25143. Dato che una permutazione e la sua riflessa non possono coincidere, si deduce che il numero delle permutazioni alternanti di una data lunghezza è un numero pari. Denotiamo con An la metà del numero delle permutazioni alternanti dell'insieme {1, ..., n}.

Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante \langle c_1,c_2,...,c_n\rangle che inizia con una salita (c_1<c_2) è associata biunivocamente la permutazione alternante \langle n+1-c_1,n+1-c_2,...,n+1-c_n\rangle che inizia con una discesa (ed ovviamente è diversa); quindi An fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa).

Si trova che la funzione generatrice esponenziale della successione di tali numeri è la funzione trigonometrica:

\sum_{n=0}^\infty A_n {x^n \over n!} = \sec(x) + \tan(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).

Si osserva che la serie formale di potenze della secante presenta solo potenze pari della variabile x, mentre la serie della tangente presenta solo potenze dispari. Quindi i numeri con indici pari A2m sono forniti dalla serie della secante e vengono chiamati numeri secanti o numeri zig, mentre quelli con indice dispari sono forniti dalla serie della tangente e sono detti numeri tangenti o numeri zag.

I numeri A2m sono strettamente connessi con i numeri di Eulero: A_{2m}\,=\,|E_{4m}|

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (FR) André, D. "Developments de sec x et tan x." Comptes Rendus Acad. Sci., Paris 88, 965-967, 1879.
  • (FR) André, D. "Memoire sur les permutations alternées." J. Math. 7, 167-184, 1881.

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