Corpo rigido

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In fisica un corpo rigido è un oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità, ossia è un corpo che sia quando è fermo sia quando cambia posizione non si deforma mai. Dal punto di vista della teoria dell'elasticità un corpo è rigido se costituito da un materiale che ha modulo di Young teoricamente infinito.

Il vincolo di rigidità è un vincolo di posizione bilaterale ed indipendente dal tempo; esso fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante. Scelti due punti qualunque P_1 e P_2 appartenenti al corpo rigido e la loro distanza d_{12}, il vincolo di rigidità è analiticamente espresso dalla relazione:

(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2-d_{12}^2=0

Affinché un sistema abbia un moto rigido è necessario e sufficiente che le velocità simultanee di due suoi punti qualsiasi abbiano la stessa componente lungo la loro congiungente, e questo deve essere vero per ogni coppia di punti del sistema.

Questo vincolo riduce i gradi di libertà del sistema da 3N (dove N è il numero di particelle) a 6. Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, ad ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori, come:

  • tre coordinate di un punto, due di un secondo punto, una di un terzo punto (le altre coordinate sono univocamente determinate dai vincoli);
  • oppure: tre coordinate di un punto, tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi x, y, z solidali al corpo.

Il moto di un corpo rigido si definisce moto rigido piano quando, considerato un piano solidale al corpo e con giacitura iniziale g, questo si mantiene durante il moto costantemente sovrapposto ad un piano fisso anch'esso di giacitura g; ovvero tutti i punti appartenenti al corpo rigido seguono le stesse leggi temporali di moto su piani paralleli.

Due corpi rigidi vincolati a strisciare l'uno sull'altro su una superficie solidale ad entrambi si dicono costituire una coppia cinematica.

Cinematica del corpo rigido[modifica | modifica wikitesto]

La traslazione di un corpo rigido si riconduce allo studio della cinematica dei sistemi, introducendo il concetto di centro di massa e considerando il corpo come un sistema continuo.

Lo studio della parte rotazionale con i concetti già noti sono sufficienti a determinare tutte le caratteristiche cinematiche del moto. La rotazione di un corpo rispetto ad un asse passante per almeno un punto del corpo è perfettamente determinata dalla conoscenza della variazione angolare del moto del corpo rispetto ad un punto generico dell'asse di rotazione:

d \vec r = d\vec \theta \times \vec r

o meglio dal vettore velocità angolare:

\vec \omega = \frac{d \vec \theta}{dt}

esso è diretto parallelamente all'asse di rotazione con verso definito dalla regola della vite. Allora la velocità di un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione è:

\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d \vec \theta \times \vec r}{dt} = \vec \omega \times \vec r

La variazione della velocità angolare ci dice che un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione subisce un'accelerazione angolare:

\vec \dot \omega = \frac{d \vec \omega}{dt}

Le componenti della velocità assoluta di un punto del corpo sugli assi mobili x_{m} y_{m} z_{m} sono date proiettando allora il teorema fondamentale della cinematica rigida:

\vec v=\frac{d \vec r_o}{dt}+ \omega\times\vec r

sugli assi \ x,\ y,\ z.

Chiamando con \ u_{o},\ v_{o},\ w_{o} le componenti della velocità assoluta del centro delle velocità \ O (traslazione) in tre assi di rotazione \ x,\ y,\ z (mobili), e con \ p,\ q,\ r le componenti del vettore velocità angolare \vec{\omega} in tre assi mobili otteniamo:

\dot{x}=u=u_{o}+(qz-ry) \dot{y}=v=v_{o}+(rx-pz) \dot{z}=w=w_{o}+(py-qz)

I valori \ u_{o},\ v_{o},\ w_{o},\ p,\ q,\ r, si chiamano i sei parametri del moto rigido.

Lo stesso punto subisce un'accelerazione data da:

\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d}{dt} \vec \omega \times \vec r

che per la regola di derivazione del prodotto:

\vec a = \frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d \vec r}{dt}

allora in definitiva, essendo l'accelerazione angolare \vec \alpha= \frac{d\vec \omega}{dt} e \vec v = \frac{d \vec r}{dt}:

\vec a = (\vec \alpha - \omega^2) \times \vec r

dove il primo termine rappresenta la componente tangenziale dell'accelerazione e il secondo termine quella centripeta: perciò i punti del corpo rigido si muovono di moto centrale attorno al centro delle velocità \ O.

Dinamica del corpo rigido[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni cardinali dei sistemi.

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle equazioni cardinali della dinamica

\begin{cases} \vec F^{ext} = m \dfrac{d\vec v_c}{dt} = \dfrac{d\vec p_c}{dt}\\
\vec M^{ext} = \dfrac{d \vec L}{dt}\end{cases}

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

\begin{cases} \vec F^{ext} = m \dfrac{d\vec v_c}{dt} = \dfrac{d\vec p_c}{dt} = 0\\
\vec M^{ext} = \dfrac{d \vec L}{dt} = 0\end{cases}

e queste equazioni introducono le leggi di conservazione e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Per quanto riguarda la parte energetica del moto di un corpo rigido, l'energia cinetica T ha il contributo dell'energia cinetica traslazionale T_{t} e di quella rotazionale T_{r} in generale, per un moto piano, date da

T = T_{t} + T_{r} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} I_c \omega^{2}

dove I_c è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse perpendicolare al piano del moto e passante per il baricentro, mentre v_c è la velocità del baricentro. Vale il Teorema di Huygens-Steiner. Il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è per il terzo principio della dinamica nullo. Si noti che se il corpo ruota attorno a un asse h non baricentrico, se si indica con r la distanza del baricentro dall'asse di rotazione, si ottiene

T = \frac{1}{2} (m r^{2} + I_c) \omega^{2}=\frac{1}{2} I_h \omega^{2}

essendo I_h il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione h.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono moti rigidi piani quelli in cui il corpo ruota intorno ad un asse fisso e il moto di puro rotolamento, il moto del pendolo composto e quello della trottola.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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