Trottola

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – Se stai cercando il personaggio dei fumetti, vedi Trottola (personaggio).

La trottola è un giocattolo, solitamente fatto di legno duro, a forma di cono con una punta di ferro ad una estremità.

Origine e diffusione[modifica | modifica wikitesto]

Una trottola giapponese

La trottola era un giocattolo diffuso tra i Greci e Romani: è nominata ad esempio da Callimaco [1], e anche Catone, il noto Censore romano, la consigliava come passatempo per bambini che, a suo parere, avrebbero invece dovuto evitare i dadi.

I Romani la chiamavano "turbo" e il gioco all'epoca era particolare: pare che si disegnasse per terra un grande cerchio diviso in dieci settori numerali, ad ognuno dei quali corrispondeva un punteggio. Lo scopo del gioco consisteva nel far roteare la trottola nel centro, raggiungendo così il massimo punteggio.

Attorno al XIV secolo si ha la massima diffusione della trottola, specie in Inghilterra dove era abbinata addirittura a certe cerimonie religiose. Il Martedì Grasso si organizzavano corse di trottole lungo le strade delle parrocchie e, quando una trottola smetteva di girare, veniva riposta fino all'anno successivo.

Le trottole erano diffuse anche tra gli indiani del Nord e del Sud America da molto prima dell'arrivo di Colombo. Gli Inuit, una popolazione del Nord, cercavano di far fare alle trottole un giro completo delle loro abitazioni soprattutto in inverno.

Particolarmente in Giappone è diffusa la produzione artigianale di questo giocattolo. Molti artigiani di questo paese sanno creare trottole "partorienti", ovvero che ne liberano altre più piccole durante il loro giro.

Nel Borneo e nella Nuova Guinea dopo la semina i contadini fanno girare le trottole per stimolare la crescita dei germogli.

Come si gioca[modifica | modifica wikitesto]

Esistono molti modi di giocare al gioco della trottola.

Attorno alla trottola viene avvolta una corda (in modo da formare una spirale che va dalla punta in metallo alla parte più alta e larga) che permette, all'atto del lancio, di far ruotare la trottola. Ci sono vari tipi di giochi.
Uno fra i tanti consiste di queste regole:
- minimo due giocatori pronti a rischiare la propria trottola;
- i due effettuano il primo lancio insieme e la prima trottola che si ferma resta sotto (rimane a terra);
- l'altro deve cercare di colpire la trottola rimasta a terra eseguendo i propri lanci fino a quando la sua non termina di ruotare;
- quando questa si ferma, rimane lei "sotto" e l'altro concorrente va all'attacco;
- il gioco a volte dura tantissimo, e tutto sta nella bravura dei concorrenti, nella punta della trottola e nel legno di cui è fatta;
- l'obiettivo è distruggere la trottola dell'avversario; il vincitore terrà con sé la punta della trottola persa, e chi più colleziona questi "trofei di guerra" più è temuto.

Funzionamento[modifica | modifica wikitesto]

È possibile costruire un modello fisico del moto della trottola considerando il giocattolo come un corpo rigido di massa m e lunghezza l dotato di simmetria rotazionale, il cui punto di contatto con il piano è fisso e sottoposto ad una forza di gravità costante di accelerazione g.

La simmetria rotazionale implica inizialmente che, detti I_1, I_2 e I_3 i valori del momento d'inerzia relativi a ciascuno dei tre assi principali d'inerzia del corpo (x',y',z'), si abbia I_1 = I_2.

Dalla teoria degli angoli di Eulero (\theta, \phi, \psi), ponendo I_1=I_2, si ricava l'espressione dell'energia cinetica T del corpo rigido essere  T = \frac{I_1}{2}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin^2\theta)+\frac{I_3}{2}(\dot\psi + \dot\phi\cos\theta)^2

Sottraendo a T l'energia potenziale dovuta al campo gravitazionale, ricordando che la trottola è inclinata di un angolo \theta rispetto alla verticale si ottiene la lagrangiana del sistema

\mathcal{L}=T-V = \frac{I_1}{2}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin^2\theta)+\frac{I_3}{2}(\dot\psi + \dot\phi\cos\theta)^2 - mgl\cos\theta

Poiché le coordinate \phi e \psi sono cicliche, ovvero compaiono solo come derivate temporali nell'espressione della lagrangiana, i rispettivi momenti generalizzati si conservano e sono integrali primi del moto. Tali grandezze valgono L_z = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi} = \dot\phi(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + \dot\psi I_3 \cos\theta L_3 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\psi} = \dot\phi I_3\cos\theta + \dot\psi I_3

Sostituendo i valori dei momenti al posto di quelli delle velocità \dot\phi e \dot\psi nell'espressione di E=T+V si ricava la forma

E = \frac{I_1}{2}\dot\theta^2 + mgl\cos\theta + \frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}.

Nel calcolo di Esi è trascurato il termine costante (e dunque ininfluente) \frac{L_3^3}{2I_3}.

La quantità \dot\phi = \frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta} è la frequenza di precessione del moto della trottola, che può essere considerata in prima approssimazione (trascurando cioè il moto di nutazione che influisce su \theta) costante.

Nutazione[modifica | modifica wikitesto]

Effettuando ora la sostituzione u=\cos\theta (-1\le u\le 1), ricordando la relazione trigonometrica \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta = 1-u^2 e considerando \dot{u}^2 = \dot{\theta}^2 \sin^2\theta = \dot{\theta}^2 (1-u^2), da cui si ricava  \dot{\theta}^2 = \frac{ \dot{u}^2}{1 - u^2} si ottiene per E:

E = \frac{I_1}{2} \frac{\dot{u}^2}{1-u^2} + mglu + \frac{(L_z - L_3 u)^2}{2I_1(1-u^2)}

da cui, raccogliendo a fattor comune, svolgendo il quadrato e rinominando le costanti

a = L_z/I_1\quad b = L_3/I_1 \quad \alpha = 2E/I_1 \quad \beta = 2mgl/I_1

si ricava, raccogliendo,

\dot{u}^2 = (\alpha-\beta u)(1-u^2)-(a-bu)^2

Dallo studio del polinomio di terzo grado al secondo membro e imponendo la condizione di esistenza di u si evince l'esistenza di due radici reali u_1 e u_2 corrispondenti agli angoli \theta_1 e \theta_2 che fungono da punti di inversione del moto di nutazione della trottola, ovvero dell'oscillazione (parametrizzata da \theta) dell'angolo d'inclinazione della trottola.

Trottola addormentata[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una trottola in cui l'asse rimane inizialmente sulla verticale (si ha cioè \theta = 0
). In questo caso L_z = L_3 = I_3\omega_3.

La forma

E = \frac{I_1}{2}\dot\theta^2+mgl\cos\theta+\frac{(L_z-L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}

è equivalente a quella di un moto unidimensionale nella variabile \theta il cui potenziale efficace vale

V_\text{eff}=mgl\cos\theta + \frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}

Imponendo la condizione sui momenti angolari, sviluppando al second'ordine in serie di Taylor e trascurando i termini costanti si ricava

V_\text{eff} = \frac{I^2_3\omega^2_3\theta^4}{8I_1 \theta^2} - mgl\frac{\theta^2}{2} = \left(\frac{I^2_3 \omega^2_3}{8I_1} - \frac{mgl}{2}\right)\theta^2

La condizione di stabilità impone che il coefficiente moltiplicativo di \theta^2 sia maggiore di zero.

Dunque si deve avere \omega^2_3>\frac{4mglI_1}{I^2_3}. Non appena l'attrito causa il rallentamento della velocità di rotazione sotto questa soglia, la trottola diventa instabile e dunque si sveglia, iniziando il moto di precessione/nutazione descritto in precedenza.

Trottola veloce[modifica | modifica wikitesto]

La trottola veloce è quella lanciata con grande velocità angolare la cui energia cinetica rotazionale è molto superiore a quella potenziale gravitazionale. Questo modello descrive simultaneamente dunque i casi limite \omega_3 \to \infty e g \to 0. Quest'ultimo è il caso che si analizzerà, sapendo che le conclusioni possono essere direttamente estese a quello iniziale.

Si consideri inizialmente il caso g=0.

In assenza di forza peso, il potenziale efficace vale

V_\text{eff}=\frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}

Tale potenziale presenta un punto stazionario nell'angolo \theta^* per cui L_z = L_3\cos\theta^*. Dalla teoria dei moti unidimensionali, la frequenza delle piccole oscillazioni (nutazioni) intorno a \theta* vale

\omega^2_\text{nut} = \frac{V''_\text{eff}(\theta^*)}{I_1}

Sviluppando V_\text{eff} al second'ordine in \theta^* si ricava

V_\text{eff} = \frac{L^2_3\theta^2\sin^2{\theta^*}^2}{2I_1}\theta^2, da cui, derivando due volte e sostituendo

\omega_\text{nut} = \frac{I_3}{I_1}\omega_3.

Per valori di g\to 0, il punto di minimo \theta^{(g)} non può differire di molto da \theta^*. Quindi la differenza tra le derivate seconde in tali punti è ulteriormente trascurabile, e può essere utilizzata la stessa espressione per la frequenza di nutazione.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Callimaco, epigramma in Anthologia graeca, VII, 89.
  2. ^ Vladimir Igorevič Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, pp. 148–159.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • R' Strùmmele - come si giocava una volta con questa trottola tradizionale a San Lorenzo Maggiore, un paese della provincia di Benevento