Soluzione on shell ed off shell

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In fisica e in particolare nella teoria quantistica dei campi, le configurazioni di un sistema fisico che sono soluzioni delle classiche equazioni del moto sono chiamate on shell, mentre quelle che non soddisfano alle equazioni classiche del moto sono chiamate off shell.

Shell di massa[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "'soluzione on shell ed off shell"' deriva da shell di massa, dove quest'ultimo è sinonimo di iperboloide di massa, cioè è l'iperboloide nello spazio dell'energia-impulso che descrivono le soluzioni dell'equazione

E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m^2 c^4.

La quale descrive le combinazioni dell'energia E e della quantità di moto p consentite dalla relatività speciale per una particella di massa m, dove c è la velocità della luce. L'equazione per lo shell di massa è spesso scritta in termini di quadrimpulso in notazione di Einstein e nelle unità naturali in cui c = 1, come:

 p^\mu p_\mu =  m^2

o più semplicemente:

 p^2 =  m^2 .

Cenni di teoria quantistica dei campi[modifica | modifica wikitesto]

La teoria quantistica dei campi è la versione relativistica della meccanica quantistica, dove gli oggetti forndamentali sono i campi. Essa fornisce la struttura teorica su cui si basano per esempio la fisica delle particelle e la fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie più testate e di successo della fisica.

La teoria quantistica dei campi corregge molte imprecisioni della meccanica quantistica ordinaria, che discuteremo brevemente. L'equazione di Schrödinger, nella sua forma più comune è


\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

dove \hbar è la costante di Planck ridotta, Ψ è la funzione d'onda di una particella, m la sua massa, e V un'energia potenziale applicata.

Ci sono due problemi associati a questa equazione:

1) In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se notiamo che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica p²/2m, mentre l'energia a riposo mc² viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo;

2) Il secondo problema si ha quando cerchiamo di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di N bosoni si scrive come


\Phi(r_1, ..., r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{p} \phi_{p(1)} (r_1) \cdots \phi_{p(N)} (r_N)

dove ri sono le coordinate della i-esima particella, φi sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di p elementi. In generale, questa è una somma di N! (N fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di N.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0201503972
  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
  • (EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
  • (EN) C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
  • (EN) N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
  • L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
  • G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
  • (EN) Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
  • (EN) F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
  • (EN) F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

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