Soluzione on shell ed off shell

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In fisica, in particolare nella teoria quantistica dei campi, si parla di soluzione on shell ed off shell per indicare le configurazioni di un sistema fisico. Quando una configurazione è soluzione delle classiche equazioni del moto viene chiamata soluzione on shell, mentre se non le soddisfa è detta soluzione off shell.

Shell di massa[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "'soluzione on shell ed off shell"' deriva da "shell di massa", sinonimo di iperboloide di massa, cioè è l'iperboloide nello spazio dell'energia-impulso che descrivono le soluzioni dell'equazione:

E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m^2 c^4

La quale descrive le combinazioni dell'energia E e della quantità di moto \vec{p} consentite dalla relatività speciale per una particella di massa m, dove c è la velocità della luce. L'equazione per lo shell di massa è spesso scritta in termini di quadrimpulso in notazione di Einstein e nelle unità naturali in cui c = 1, come:

 p^\mu p_\mu =  m^2

o più semplicemente:

 p^2 =  m^2

Teoria quantistica dei campi[modifica | modifica wikitesto]

La teoria quantistica dei campi è la versione relativistica della meccanica quantistica, dove gli oggetti forndamentali sono i campi. Essa fornisce la struttura teorica su cui si basano per esempio la fisica delle particelle e la fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie di maggior successo della fisica.

La teoria quantistica dei campi fornisce alcune correzioni alla meccanica quantistica ordinaria, in cui l'evoluzione di un sistema è descritta dall'equazione di Schrödinger che nella sua forma più comune è:


\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

dove \hbar è la costante di Planck ridotta, \Psi è la funzione d'onda di una particella, m la sua massa, e V un'energia potenziale applicata.

Ci sono due problemi associati a questa equazione:

  • In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se si nota che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica p^2 /2m, mentre l'energia a riposo mc^2 viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo;
  • Il secondo problema si ha quando si cerca di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di N bosoni si scrive come:

\Phi(r_1, \dots, r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{p} \phi_{p(1)} (r_1) \cdots \phi_{p(N)} (r_N)

dove r_i sono le coordinate della i-esima particella, \phi_i sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di p elementi. In generale, questa è una somma di N! (N fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di N.

Campo scalare[modifica | modifica wikitesto]

Prendendo per esempio un campo scalare in uno spazio di Minkowski D-dimensionale, si consideri una densità di Lagrangiana \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi). L'azione è data da:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

L'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene considerando la variazione del campo e delle sue derivate, e ponendola uguale a zero. Essa ha la forma:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

Supponendo che il sistema compie uno spostamento infinitesimo x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu nello spazio-tempo, la densità di Lagrangiana \mathcal{L} (uno scalare) si trasforma come:

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

Espandendo inoltre \delta \mathcal{L} in serie di Taylor:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

dunque:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

notando nel mentre che che \delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi) poichè le variazioni sono linearmente indipendenti. Dal momento che si tratta di campi scalari, essi si trasformano esattamente come \mathcal{L}:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

e dato che questo deve valere per traslazioni fra loro indipendenti:

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,\dots ,0) , (0,\epsilon, \dots ,0), \dots

si può "dividere" per \alpha^\mu e scrivere:

 \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

Questo è un esempio di equazione che vale off shell, poiché è valida per ogni configurazione dei campi indipendentemente dal fatto che essa rispetti le equazioni del moto, che in tal caso sono le equazioni di Eulero-Lagrange.

Si può derivare comunque una soluzione on shell semplicemente rimpiazzando \partial \mathcal{L} / \partial \phi nella precedente relazione con l'equazione di Eulero-Lagrange:

 \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

Ciò si può scrivere come:

 \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

e definendo la quantità tra parentesi come T^\nu{}_\mu, si ha:

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

che è una formulazione del teorema di Noether. La quantità conservata è il tensore energia impulso, ed è conservata solo on shell, ovvero solo se vengono soddisfatte le equazioni del moto.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0201503972
  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
  • (EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
  • (EN) C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
  • (EN) N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
  • L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
  • G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
  • (EN) Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
  • (EN) F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
  • (EN) F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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