Sistema dinamico

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Nella fisica matematica e in teoria dei sistemi, il concetto di sistema dinamico nasce dall'esigenza di costruire un modello matematico generale in grado di descrivere l'evoluzione nel tempo di tutti i sistemi (fisici e non) secondo opportune leggi che legano lo stato presente a quello futuro e/o passato.

Il concetto di 'stato' è difficilmente definibile in senso generale a causa dell'enorme varietà di forme che esso può assumere: in generale esso può essere definito come l'insieme dei valori delle grandezze fisiche di un sistema, prese opportunamente come riferimento cioè caratteristiche del sistema stesso, che ne definiscono la sua 'condizione' in un qualsiasi istante temporale; in altri termini si tratta di una descrizione sufficientemente esauriente del sistema al tempo t.

In meccanica classica ad esempio, dove l'evoluzione dei sistemi è regolata da equazioni differenziali, lo stato è definito, per ogni grado di libertà, dalla posizione e dal momento, in quanto la specificazione di queste grandezze all'istante di osservazione consente di predire il comportamento futuro (e passato) del sistema. L'evoluzione nel tempo di un sistema è descritta dunque dalla variazione (evoluzione) nel tempo dello 'stato' (equazione di transizione di stato).

L'origine storica di tali problematiche risiede nel problema generale della dinamica nella meccanica classica. L'estensione ai sistemi non meccanici (elettrici e termodinamici) ha dato vita alla ingegneria dei sistemi (il cui ramo più moderno e fecondo è l'automatica).

Se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamato discreto, se invece l'evoluzione è continua e la regola è data da un'equazione differenziale il sistema viene chiamato continuo. L'evoluzione di un sistema può essere dettata da forzanti esterne al sistema che agiscono direttamente sullo stato, nel qual caso il sistema si dirà forzato, oppure da forzanti interne al sistema ovvero da una dinamica interna, e in tal caso il sistema si dirà non forzato o libero.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Secondo la nozione più astratta, un sistema dinamico è definito da

  • Uno spazio delle fasi, ossia un insieme X i cui elementi rappresentano tutti gli stati possibili che il sistema può assumere. La struttura matematica che gli viene assegnata dipende dal contesto, e può essere quella di
    • spazio topologico: si riferisce a sistemi in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato, ma non è necessariamente definito un concetto di metrica;
    • spazio misurabile: è relativa a tutti quei sistemi nei quali allo stato viene associata in generale solo una nozione di misura, ad esempio una probabilità;
    • varietà differenziabile: rientra nella categoria degli spazi topologici, ma in più ammette l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali. È probabilmente la struttura più studiata, sia perché si presta a modellare i sistemi fisici (che normalmente non possono prescindere da una valutazione metrica quantitativa), sia perché la grande generalità dei sistemi definiti su spazi topologici rende molto più difficile ottenere risultati soddisfacenti;
    • varietà complessa: si tratta di un'ulteriore restrizione rispetto alle varietà differenziabili, in quanto si impone una struttura di differenziabilità in senso complesso (che costituisce una nozione molto più rigida della differenziabilità reale).
  • Un insieme di tempi: può essere un insieme continuo o uno discreto, a seconda del modello adottato. Il tempo rappresenta qui semplicemente un parametro al variare del quale il sistema descrive una traiettoria nello spazio delle fasi, e proprio da questa definizione prende l'appellativo dinamico. Normalmente allo spazio dei tempi si dà una struttura di gruppo additivo.
  • Una evoluzione: il cambiamento degli stati del sistema al variare del tempo t viene rappresentato da un insieme G di funzioni dello spazio delle fasi in sé stesso. Esse vengono chiamate funzioni di transizione in quanto trasformano lo stato che si osserva all'istante iniziale in quello che il sistema assumerà dopo un tempo t; l'insieme delle funzioni di transizione
    G=\{\varphi_t:X\to X\}
individua solitamente un'azione di gruppo, ossia uno spazio tale che
    • \varphi_0 sia la funzione identità (questo esprime banalmente la convenzione comunemente adottata di considerare t=0 come istante iniziale)
    • la composizione di funzioni \varphi_t \circ \varphi_s sia la funzione \varphi_{s+t} (ossia, l'evoluzione al tempo s+t coincida con quella che si ha trasformando lo spazio prima per un tempo s e successivamente per un tempo t)
quest'ultima proprietà rappresenta in parole povere la stazionarietà della legge che governa l'evoluzione del sistema, ossia il fatto che le sue proprietà si mantengono inalterate al variare del tempo. Nonostante tale caratteristica non sia automaticamente soddisfatta in tutti i modelli fisici, essendo possibile l'esistenza di parametri tempo varianti non inclusi nello spazio delle fasi, in linea di principio può comunque essere resa vera a patto di modificare il modello in maniera da conglobare nello stato del sistema tutti quei parametri. Si richiede inoltre che queste funzioni siano compatibili con la struttura di X: nel caso in cui X sia uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, dovranno cioè essere rispettivamente omeomorfismi, funzioni misurabili, diffeomorfismi o funzioni olomorfe.

In generale le uscite o all'istante t di un sistema dinamico dipendono dagli ingressi i del sistema allo stesso istante e dal suo stato σ composto dalle variabili di stato (spesso non direttamente osservabili), che tiene conto della storia del sistema:

\mathbf o\, (\boldsymbol \sigma,\mathbf i,t)

dove: \frac {\partial \mathbf o}{\partial \boldsymbol \sigma}\ne\mathbf 0 altrimenti il sistema è statico.

A seconda delle caratteristiche di controllabilità del sistema gli ingressi modificano l'andamento o traiettoria dello stato: tra queste i disturbi o rumori sono quelle incontrollabili. Dall'uscita, a seconda dell'osservabilità del sistema può essere indirettamente possibile la stima dello stato.

Un sistema dinamico è caratterizzato da:

  • Un insieme ordinato T, detto insieme dei tempi;
  • Un insieme \Upsilon, detto insieme degli ingressi;
  • Un insieme I di funzioni i(\cdot) : T \rightarrow \Upsilon detto insieme delle funzioni di ingresso;
  • Un insieme \Omega, detto insieme delle uscite;
  • Un insieme O di funzioni o(\cdot) : T \times S \rightarrow \Omega detto insieme delle funzioni di uscita;
  • Un insieme S detto insieme degli stati;
  • Una funzione \varphi : T \times T \times S \times I \rightarrow S , detta funzione di transizione di stato che soddisfa le seguenti proprietà:
    • consistenza: \varphi(\,t, t, \sigma, i(\cdot)\,) = \sigma,  \;\forall t \in T,\forall \sigma\in S,\forall  i(\cdot)\in I;
    • irreversibilità: \varphi(\,t, \tau, \sigma, i(\cdot)\,) è definita \forall t \geq \tau;
    • composizione:  \varphi(\,t, \tau, \sigma, i(\cdot)\,) = \varphi(\,t , t_1, \varphi(\,t_1 , \tau, \sigma, i(\cdot)\,)\;, i(\cdot)\,) con  t \geq t_1 \geq \tau
    • causalità: date due funzioni i_1 (\cdot) , i_2 (\cdot) \in I identiche nell'intervallo [\tau, t) di T si ha che  \varphi(\,t, \tau, \sigma, i_1(\cdot)\,) = \varphi(\,t, \tau, \sigma, i_2(\cdot)\,)

Sono molto diffusi nella pratica i sistemi dinamici in cui gli insiemi Υ, I, S, Ω, O sono spazi vettoriali, in particolare i sistemi dinamici lineari.

Un'altra caratteristica fondamentale dei sistemi dinamici è data dall'insieme dei tempi T. In particolare vengono detti sistemi dinamici tempocontinui (o, più semplicemente, sistemi continui) i sistemi dinamici in cui T = \mathbb{R} e sistemi dinamici tempodiscreti (sistemi discreti) i sistemi dinamici in cui T = \mathbb{Z} oppure T = \mathbb{N}.

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

L'insieme dei tempi può avere cardinalità del continuo o numerabile (sistemi a tempo discreto). Ciò influisce sulle equazioni di stato che costituiscono parte del modello matematico del sistema, rendendole un sistema di equazioni differenziali o di equazioni alle differenze: in particolare solitamente queste si presentano come equazioni differenziali del primo ordine nel tempo dove è esplicitata rispettivamente nei due casi dalla velocità di transizione dello stato \dot{\boldsymbol{\sigma}} o dall'assegnazione dello stato successivo \boldsymbol{\sigma} (t + \Delta t).

\dot{\boldsymbol{\sigma}} \, (\boldsymbol{\sigma},\mathbf{i},t)\, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{n+1} (\boldsymbol{\sigma}_n,\mathbf{i},t)

I sistemi dinamici continui sono dati dal flusso associato ad un campo vettoriale il quale è un gruppo a un parametro di trasformazioni. Le linee di flusso del campo vettoriale danno le possibili evoluzioni nel tempo del sistema dinamico in questo caso sono le soluzioni dell'equazione differenziale

\frac{dx(t)}{dt}=\,f(x(t))

dove f(x) è il campo vettoriale e x(t) individua lo stato del sistema al tempo t.

I sistemi dinamici discreti si ottengono dall'iterazione di una funzione f, il gruppo di trasformazioni in questo caso è dato dall'insieme

G=\{Id, f, f^2, f^3, ... f^n, ...\}

(dove l'espressione f^k indica la composizione di funzioni f \circ .... \circ f di f con sé stessa iterata k volte).

I sistemi dinamici si classificano inoltre in base al tipo di spazio e di trasformazioni che coinvolgono:

I sistemi dinamici possono essere suddivisi per caratteristiche:

  • Linearità
    • Sistemi dinamici lineari: il legame tra variabili di stato e di ingresso con la dinamica o con l'uscita è lineare (può essere espresso tramite matrici)
    • Sistemi dinamici non lineari: il legame tra variabili di stato e di ingresso con la dinamica o con l'uscita è non lineare (può essere espresso solo da funzioni non lineari)
  • Stazionarietà
    • Sistemi dinamici stazionari: \dot \sigma, o (per tempo discreto \sigma(t+\Delta t), o) non dipendono direttamente dal tempo:
\frac {\partial \dot{\boldsymbol{\sigma}}}{\partial t}=0, \qquad \frac {\partial \boldsymbol{o}}{\partial t}=0 (per tempo discreto \frac {\partial \boldsymbol{\sigma}(t+\Delta t)}{\partial t}=0)
quindi di fatto:
\dot{\boldsymbol{\sigma}} \, (\boldsymbol{\sigma},\mathbf i)\, \qquad \mathbf o\, (\boldsymbol{\sigma},\mathbf i) (per tempo discreto \boldsymbol{\sigma}(t+\Delta t))
    • Sistemi dinamici non stazionari: i parametri del sistema sono variabili al variare del tempo
  • Purezza
    • Sistemi dinamici puri: o non dipende direttamente dall'ingresso:
\frac {\partial \dot{\mathbf{o}}}{\partial \mathbf{i}} = \mathbf{0}, \qquad \mathbf{o}\, (\boldsymbol{\sigma},t)
    • Sistemi dinamici non puri che dipendono direttamente dall'ingresso.
  • Numero ingressi e uscite
    • SISO (Single input single output): sistemi dinamici con un solo ingresso controllante e una sola uscita misurata (e controllata):
\dot \sigma \, (\sigma,i,t)\, \qquad \sigma_{n+1} \, (\sigma_n,i,t)
o\, (\sigma,i,t)
    • MIMO (Multiple input multiple output): l'ingresso e l'uscita sono vettori.

Un sistema dinamico lineare e stazionario continuo è detto lineare tempo invariante LTI, mentre un sistema dinamico lineare e stazionario discreto è detto lineare invariante alla traslazione LIT. L'importanza di queste sottoclassi nell'automatica risiede nella semplicità di manipolazione dei segnali dovuta alla linearità del sistema e alla sua stazionarietà.

Rappresentazione grafica[modifica | modifica sorgente]

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black box).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Esempi di sistemi dinamici continui sono:

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

Concetti fondamentali[modifica | modifica sorgente]

Concetti basilari comuni a tutti i sistemi dinamici sono i seguenti:

  • Orbita: l'insieme di tutti gli stati che si incontrano partendo da un certo stato iniziale e facendo evolvere il sistema per tempi arbitrariamente lunghi nel futuro e nel passato.
  • Punto fisso: un punto nello spazio delle fasi (cioè uno stato) che rimane invariato durante l'evoluzione del sistema.
  • Insieme invariante: un insieme di stati che viene mandato in sé stesso dall'evoluzione del sistema, (eventualmente spostando i singoli stati all'interno dell'insieme).
  • Attrattore: un insieme invariante a cui tutte le orbite tendono ad avvicinarsi per tempi che tendono all'infinito.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • George Birkhoff Dynamical Systems (Providence RI, AMS, 1927) ISBN 0821833944
  • Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN: 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
  • Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard, Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, Springer Verlag, 2005. ISBN 0-978-3-540-44125-0.
  • Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert Devaney, Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos, Academic Press, 2003. ISBN 0-12-349703-5.
  • Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and James A. Yorke, Chaos. An introduction to dynamical systems, Springer Verlag, 2000. ISBN 0-387-94677-2.
  • Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57557-5.
  • Steven Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology chemistry and engineering, Addison Wesley, 1994. ISBN 0-201-54344-3.
  • Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri, 2009. ISBN 9788833919171.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]