Flusso (matematica)

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In matematica, un flusso o superfunzione[1] generalizza il concetto di funzione iterata n volte, in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. È utilizzato per formalizzare matematicamente il concetto intuitivo di "una variabile che dipende dal tempo", nozione spesso necessaria in ingegneria, fisica e più in generale nello studio delle equazioni differenziali ordinarie. In poche parole, se x(t) è una qualche coordinata di un qualche sistema di riferimento il cui comportamento è una funzione continua di t, allora x(t) è un flusso. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il Campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un flusso definito su un insieme X è un'azione di gruppo di (\R,+) su X. Più esplicitamente, un flusso è una funzione \varphi:X\times \R\rightarrow X con \varphi(x,0) = x e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,t+s)

per ogni s,t in \R e con x\in X.

L'insieme \mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\R\} è chiamata orbita di x attraverso \varphi.

Normalmente è richiesto che un flusso sia una funzione continua o anche differenziabile, quando lo spazio X ha alcune strutture particolari (ad esempio quando X è uno spazio topologico o quando X = \R^n).

Un flusso locale è un flusso che non può essere definito per tutti i tempi t \in \R.

In molti campi, come l'ingegneria, la fisica e lo studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è implicito. Quindi,

x(t)

è spesso scritto al posto di \phi(x,t), intendendo che la "variabile x dipende dal tempo t". Infatti, si ha la stretta equivalenza: x(t)\equiv\phi(x,t). Allo stesso modo

x_0=x(0)

è usato per indicare x=\phi(x,0) e così via.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Il più comune esempio di flusso deriva dalla descrizione delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma. Sia

 y' = f(y),\;\;\; y(0)=x

una funzione di condizione iniziale x, quando esiste ed è unica la soluzione dell'equazione. Se, appunto, quest'equazione ha un'unica soluzione \psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X per ogni x\in X, allora \varphi(x,t) = \psi_x(t) è un flusso.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009superfae.pdf

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]