Flusso (matematica)

In matematica, un flusso o superfunzione^[1] generalizza il concetto di funzione iterata n volte, in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. È utilizzato per formalizzare matematicamente il concetto intuitivo di "una variabile che dipende dal tempo", nozione spesso necessaria in ingegneria, fisica e più in generale nello studio delle equazioni differenziali ordinarie. In poche parole, se $x(t)$ è una qualche coordinata di un qualche sistema di riferimento il cui comportamento è una funzione continua di t, allora $x(t)$ è un flusso. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale Hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione [modifica]

Un flusso definito su un insieme $X$ è un'azione di gruppo di $(\R,+)$ su $X.$ Più esplicitamente, un flusso è una funzione $\varphi:X\times \R\rightarrow X$ con $\varphi(x,0) = x$ e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

$\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,t+s)$

per ogni $s,t$ in $\R$ e con $x\in X.$

L'insieme $\mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\R\}$ è chiamata orbita di $x$ attraverso $\varphi.$

Normalmente è richiesto che un flusso sia una funzione continua o anche differenziabile, quando lo spazio $X$ ha alcune strutture particolari (ad esempio quando $X$ è uno spazio topologico o quando $X = \R^n$ ).

Un flusso locale è un flusso che non può essere definito per tutti i tempi $t \in \R$ .

In molti campi, come l'ingegneria, la fisica e lo studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è implicito. Quindi,

$x(t)$

è spesso scritto al posto di $\phi(x,t)$ , intendendo che la "variabile x dipende dal tempo t". Infatti, si ha la stretta equivalenza: $x(t)\equiv\phi(x,t)$ . Allo stesso modo

$x_0=x(0)$

è usato per indicare $x=\phi(x,0)$ e così via.

Esempio [modifica]

Il più comune esempio di flusso deriva dalla descrizione delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma. Sia

$y' = f(y),\;\;\; y(0)=x$

una funzione di condizione iniziale $x$ , quando esiste ed è unica la soluzione dell'equazione. Se, appunto, quest'equazione ha un'unica soluzione $\psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X$ per ogni $x\in X$ , allora $\varphi(x,t) = \psi_x(t)$ è un flusso.