Controllabilità

Il concetto di controllabilità viene introdotto nello studio di un sistema dinamico per valutare le condizioni operative ("stato") in cui è possibile portare il sistema. L'individuazione di un insieme $\mathbb{X}_c(\,\,)$ di stati controllabili, ovvero di stati in cui è possibile portare il sistema a mezzo di un opportuno controllo, permette di valutare quali siano i risultati ottenibili applicando un sistema di controllo al sistema.

Prima di introdurre i formalismi matematici con i quali è possibile valutare quali siano gli stati controllabili di un sistema lineare tempo-invariante, è utile introdurre il problema con un esempio che chiarisca gli aspetti fondamentali. Ad esempio, consideriamo due serbatoi affiancati ed alimentati dallo stesso rubinetto. Possiamo regolare il livello di acqua contenuto nei serbatoi agendo sul rubinetto, ma il livello di acqua resterà uguale per entrambi i serbatoi e non potrà essere controllato indipendentemente. Il sistema pur avendo due variabili di stato (l'altezza delle colonne d'acqua, legata all'energia posseduta dalle masse d'acqua) non ne permette un controllo indipendente.

In termini di controllabilità l'insieme $\mathbb{X}_c(\,\,)$ del sistema in esame sarà formato da vettori costituiti da due elementi (le altezze delle colonne d'acqua) che necessariamente dovranno essere uguali tra loro.

Raggiungibilità

Mentre il problema della controllabilità consiste nel determinare l'insieme degli stati che possono essere controllati a un determinato stato finale, il problema della raggiungibilità consiste nel determinare l’insieme degli stati raggiungibili da un determinato stato iniziale.

Stabilizzabilità

Un sistema si dice stabilizzabile se i modi di risposta associati alla sua parte non controllabile risultano stabili.

Controllabilità per sistemi dinamici lineari

Uno stato $\vec{x}\in \mathbb{X}$, dove $\mathbb{X}$ rappresenta lo spazio delle fasi di un sistema dinamico, è controllabile nell'intervallo [ $\,\tau$ , t ] se, fissato $\vec{x}_0\in \mathbb{X}$:

$\exist \vec{u}(\cdot)\in\Omega : \varphi(\,t, \tau, \vec{x}, \vec{u}(\cdot)\,) = 0$

L'insieme degli stati controllabili nell'intervallo [$\tau$, t ] viene indicato con $\mathbb{X}_c(\,\tau,t\,)$.

Uno stato $\vec{x} \in \mathbb{X}$ di un sistema dinamico è controllabile dall'istante $\tau$ se, fissato $\vec{x}_0 \in \mathbb{X}$:

$\exist t\in T, t \geq \tau : \vec{x}\in \mathbb{X}_c(\,\tau,t\,)$

L'insieme degli stati controllabili dall'istante $\tau$ viene indicato con $\mathbb{X}_c(\,\tau\,)$.

Un sistema dinamico è "completamente controllabile" dall'istante $\,\tau$ se $\mathbb{X}_c(\,\tau) = \mathbb{X}$.

Analogamente, un sistema dinamico è "completamente controllabile" nell'intervallo [$\tau$, t ] se $\mathbb{X}_c(\,\tau, t) = \mathbb{X}$

In altri termini, si dice che il sistema è controllabile se è possibile portare il suo stato da un qualunque punto $X(t_0)$ ad un qualunque altro punto $\mathbb{X}(t)$ con un'azione di controllo finita e a patto che l'intervallo $t-t_0$ sia finito. Per i sistemi dinamici lineari tempo invarianti esiste un metodo conveniente per controllare se il sistema è completamente controllabile. Per un sistema con n variabili, se il rango della seguente matrice test di controllabilità di Kalman

$C = \begin{bmatrix}B &|& AB &|& A^{2}B &|& ...&|& A^{n-1}B\end{bmatrix}$

è uguale a $n$, il sistema è completamente controllabile e, quindi, i suoi autovalori possono essere posizionati a piacere tramite la formula di Ackermann, ovvero ponendo:

${u}(\cdot)=-\vec{q}^TP(A)\vec{x}$

dove $\vec{q}^T$ è l'ultima riga dell’inversa della matrice di controllabilità di Kalman e con P(A) si indica la matrice che si ottiene dal polinomio caratteristico p(λ) sostituendo la matrice A al posto del parametro λ.

Voci correlate

• Osservabilità
• Attrattore
• Equazione differenziale
• Processo ergodico
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Sistemi dinamici lineari invarianti alla traslazione
• Controlli automatici
• Trasformata di Laplace
• Z-trasformata
• Automa (informatica)
• Teoria del caos

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