Teoria del caos

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Fumo di un fiammifero acceso

La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Storicamente la nascita dello studio dei fenomeni caotici si ha con il problema dei tre corpi, un problema di dinamica della fisica matematica applicato alla meccanica celeste, affrontato in primis dai matematici Joseph-Louis Lagrange e Henri Poincaré.

Teoria[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

  • Dipendenza sensibile alle condizioni iniziali (o effetto farfalla), ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni iniziali (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite e importanti in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
  • Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno a causa dell'effetto farfalla.
  • L'evoluzione nello spazio delle fasi traccia una figura molto complessa (di forma frattale) chiamata attrattore strano; sul quale le traiettorie sono soggette alla dipendenza alle condizioni iniziali. Da un punto di vista statistico però dopo un tempo sufficientemente lungo le varie traiettorie con diverse condizioni iniziali in un determinato volume compreso nell'attrattore convergeranno verso lo stesso limite.[non chiaro]

Le caratteristiche sopra esposte sono in generale tutte necessarie per definire il sistema caotico. La sensibilità dalle condizioni iniziali è talvolta parafrasata come "Il minimo battito d'ali di una farfalla è in grado di provocare un uragano dall'altra parte del mondo, "[3] esprimendo il concetto conosciuto anche con il nome effetto farfalla.

Ad esempio la mappa lineare di tipo ricorsivo:

x_{(n+1)}=2x_{n}

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di x leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza), ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero sufficientemente alto di passaggi x_{n} diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento caotico.

Mentre la mappa non-lineare sempre di tipo ricorsivo:

x_{(n+1)}=4x_{n}(1-x_{n})

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di x iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione viene chiamata mappa logistica, e descrive matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo. Il fatto che il valore di x_{n}, sia limitato indica il fatto che una qualunque popolazione non può crescere indefinitamente, dal momento che ha a disposizione una quantità di risorse necessariamente limitata.

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza). Così pure il sistema caotico del "gatto di Arnold" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

Un sistema caotico autonomo è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile di stato.

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia (attrattore di Lorenz), climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Attrattore strano[modifica | modifica wikitesto]

L'attrattore di Lorenz mostra un andamento caotico. Questi due plot dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello spazio delle fasi chiamata attrattore.

Qualche sistema dinamico, come la mappa logistica monodimensionale definita da x → 4 × (1 – x), mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto spazio delle configurazioni, tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'attrattore, dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con dimensione di Hausdorff non intera[4]. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla mappa di Hénon è uguale a 1.26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel bacino di attrazione dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre una immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di Lorenz, la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

Al contrario dei punti fissi, cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei frattali. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un bacino di attrazione di un attrattore, come ad esempio l'insieme di Julia.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La teoria del caos si applica in molte discipline scientifiche: matematica, fisica, chimica, biologia, dinamica di popolazione, informatica, geologia, ingegneria, economia, finanza, filosofia, politica, psicologia, e robotica.[5]

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'epilessia e specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.[6]

Applicazione nella finanza[modifica | modifica wikitesto]

La teoria del caos è stata anche utilizzata nelle critiche al Capital asset pricing model (CAPM). Il CAPM basa i suoi principi sul modello del mercato efficiente (IME), mentre la Teoria del caos contesta i principi di questo modello e la figura dell'investitore razionale, e soprattutto che il prezzo di un titolo sconti immediatamente tutte le informazioni che pervengono dal titolo stesso.

Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'indice beta, per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore h che distingue una serie casuale da una normale. Se ha valore uguale a 0,5 è casuale, se maggiore sarà di tipo non normale.

La teoria del caos nei media e nella fiction[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'effetto farfalla. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di Ray Bradbury, Rumore di tuono, pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di James Joyce Finnegans Wake, per la creazione del neologismo caosmosi, concetto poi molto utilizzato nella filosofia contemporanea e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.[senza fonte]

Alcuni dei film in cui si fa riferimento alla teoria del caos e affini sono:

Opere di narrativa in cui si ritrova questo tema sono:

Altri lavori di finzione che menzionano o riprendono la teoria del caos sono Arcadia di Tom Stoppard, i manga o anime xxxHOLiC, Tsubasa RESERVoir CHRoNiCLE, Steins;Gate, Mawaru Penguindrum le serie tv Fringe, Lost, Awaken, Doctor Who, FlashForward, Supernatural, Eureka, Warehouse 13, Sanctuary, CSI: Scena del crimine (episodio La teoria del caos), Castle (episodio doppio Il progetto Pandora e La chiave di Volta), The Big Bang Theory (in forma umoristica), Scrubs- Medici ai primi ferri (episodio La mia farfalla, anch'esso in forma parodica), i videogiochi Tom Clancy's Splinter Cell, Clive Barker's Jericho, BioShock Infinite

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Ott Edward, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002, pp. 15-19.
  2. ^ chaos theory. URL consultato il 22 gennaio 2012.
  3. ^ What is Chaos Theory?. URL consultato il 28 aprile 2012.
  4. ^ Edward Ott, Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems, 1981, p. 15. URL consultato il 26 gennaio 2012.
  5. ^ Metaculture.net, metalinks: Applied Chaos, 2007.
  6. ^ Comdig.org, Complexity Digest 199.06

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Badii R., Politi A., Complexity: hierarchical structures and scaling physics, Cambridge University Press, 1997
  • Bergé P., Pomeau Y., Vidal C., L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence, Herrmann, 1984
  • Bertagna A., Il controllo dell'indeterminato. Potëmkin villages e altri nonluoghi, Quodlibet, Macerata 2010
  • Bertuglia C. S., Vaio F., Non linearità, caos, complessità, Torino, Bollati Boringhieri, 2003
  • Bischi G. I., Carini R., Gardini L., Tenti P., Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici, Mondadori, 2004
  • Coli M., Ercolani A., Falco G. Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos. Ingegneria 2000, 2001 ISBN 88-86658-14-1
  • Deleuze, G., Guattari, F., Dal caos al cervello, in Che cos'è la filosofia?, Torino, Einaudi, 1996
  • De Toni A. F., Comello L., Prede o ragni, Torino, Utet Libreria, 2005
  • De Toni A. F., Comello L., Viaggio nella complessità, Venezia, Marsilio Editori, 2007
  • Ekeland Ivar, Il Caos. Milano, il Saggiatore, 1997
  • Gleick James: Caos. La nascita di una nuova scienza, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000
  • Hao Bai-Lin, Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984)), World Scientific Publishing Co., 1990
  • Heinz Rudolf Pagels, The Dreams of Reason. The Computer and the Rise of the Sciences of Complexity. Bantam Books, New York 1989
  • Ott Edward, Chaos in Dynamical systems, Cambridge University Press, 1993
  • Schuster Heinz Georg and Just Wolfram Deterministic Chaos. An Introduction, Wiley-VCH, Berlin, 2005 ISBN 3-527-40415-5
  • Smith Leonard, Caos, ed. Codice, 2008
  • Vulpiani Angelo, Determinismo e Caos, Roma, La Nuova Italia Scientifica, 1994

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]