Mappa logistica

Diagramma dei raddoppiamenti di periodo della mappa logistica

La mappa logistica è un mappa polinomiale, spesso citata come un archetipo esempio di quanto può essere complesso, caotico il comportamento che può risultare da una semplice equazione dinamica non lineare. La mappa fu resa popolare nel 1976 dal biologo Robert May. Matematicamente, la mappa logistica è scritta:

$\quad x_{n+1} = r x_n (1-x_n)$

Dove:

x_n è un numero compreso tra zero e uno, e rappresenta la popolazione in un anno n, e quindi x_o rappresenta la popolazione iniziale (all'anno 0)

r è un numero positivo, e rappresenta un tasso combinato tra la riproduzione e la mortalità.

Questa equazione non lineare descrive due effetti:

• la crescita di tipo esponenziale della popolazione (effetto più visibile quando la popolazione è piccola)
• la competizione intraspecifica quando la popolazione è numerosa, vale a dire la mortalità aggiuntiva dovuta alla competizione degli individui tra loro per assicurarsi il cibo necessario. Questo è tradotto matematicamente dal termine quadratico con segno negativo.

Tuttavia questo modello ipotizza che:

• le risorse per la popolazione siano illimitate, infinite
• non ci sia competizione interspecifica, cioè non vi sia mortalità dovuta a competizione con altre specie.

Comunque, essendo un modello demografico, la mappa logistica ha il problema che in qualche caso di condizioni iniziali e valori dei parametri porta ad un valore negativo della popolazione. Questo problema non compare nel vecchio modello di Ricker.

Comportamenti dipendenti da r

Al variare del parametro r, si osservano i seguenti comportamenti:

• Con r compreso tra 0 e 1, la popolazione calerà fino a morire, indipendentemente dal valore iniziale della popolazione.
• Con r compreso tra 1 e 2 la popolazione andrà velocemente a stabilirsi al valore $\frac{r-1}{r}$, indipendentemente dal valore iniziale della popolazione.
• Con r compreso tra 2 e 3, la popolazione andrà comunque a stabilizzarsi al valore $\frac{r-1}{r}$ ma prima oscillando tra quel valore per un po' di tempo. Il tasso di convergenza è lineare, eccetto per r=3, quando è molto lento, meno della lineare.
• Con r compreso tra 3 e $1+\sqrt{6}$ (approssimativamente 3.45), la popolazione potrebbe oscillare per sempre tra due valori. Questi due valori sono dipendenti da r.
• Con r compreso tra ~3,45 e ~3,54, la popolazione potrebbe oscillare per sempre tra 4 valori.
• Con r leggermente superiore di 3,54, la popolazione oscillerà tra 8 valori, poi 16 poi 32, etc. Il rapporto tra la lunghezza delle due successive come intervalli della biforcazioni si avvicinano alla costante di Feigenbaum δ=4,669$\dots$. Questo comportamento è un esempio di un doppio periodo di biforcazione.
• Con r approssimativamente 3,57 avviene l'insorgenza del caos, alla fine del doppio periodo di cascata. Minime variazioni del valore iniziale della popolazione daranno differenti risultati, una caratteristica primaria del caos.
• La maggior parte dei valori oltre 3,57 esibiscono un comportamento caotico, ma ci sono comunque ancora dei valori isolati di r che non mostrano comportamenti caotici; ci sono ogni tanto delle isole di stabilità. Per il caso, iniziando da $1+\sqrt{8}$ (approssimativamente 3,83) ci sarà un raggio di valori r che mostrano oscillazioni fra tre valori, e per leggeri aumenti di r oscillanti tra 6 valori, poi 12 etc... Ci sono altri range che fruttano oscillazioni tra 5 valori etc... Tutti i periodi di oscillazione si verificano.
• Oltre r=4, i valori lascia l'intervallo [0,1] e diverge per quasi tutti i valori iniziali.

Un diagramma di biforcazione sintetizza ciò. L'asse orizzontale mostra i valori del parametro r, mentre quello verticale mostra il valore di x che tende all'infinito.

Il diagramma di biforcazione è un frattale: se si ingrandisce attorno al già citato valore r=3,82 e si mette a fuoco su una delle tre braccia, la situazione assomiglia ad una ristretta e distorta versione dell'intero diagramma. La stessa cosa è vero per tutti gli altri punti non caotici.

Descrizione qualitativa

Per valori bassi del parametro r esiste un limite finito di N_i. Segue quella che viene chiamata cascata di biforcazioni con raddoppiamento del periodo in ciascuna biforcazione. Si hanno cioè dei punti periodici stabili che fungono da attrattore per la successione generata (con r costante) a partire da un generico punto iniziale N₀. I punti di biforcazione si fanno sempre più vicini e la loro sequenza converge a r~3,57. Il rapporto tra gli intervalli corrispondenti tende alla costante di Feigenbaum, δ=4,669... Le ombre che si vedono nelle zone dove non c'è un periodo finito corrispondono alle iterate di quel valore di N nel quale l'equazione discreta ha derivata nulla. La presenza di un massimo locale della funzione discreta assicura una certa stabilità numerica alle iterate successive, per cui si riescono a individuare periodi anche molto elevati. Si osservano periodi dispari per valori superiori del parametro, ben visibile il periodo 3 attorno a r~3,83. Il periodo 6 si ha sia prima di quel punto (~3,63) per auto-similarità dei due rami di biforcazioni, sia subito dopo (~3,84) per la biforcazione che raddoppia il periodo 3.

Caos e la mappa logistica

La relativa semplicità della mappa logistica fornisce un eccellente punto di partenza per esaminare il concetto del caos. Una descrizione grossolana del caos è che il comportamento dei sistemi caotici è estremamente sensibile alle condizioni iniziali—una proprietà della mappa logistica per la maggior parte dei valori di r tra 3.57 e 4 (come notato sopra). Questa sensibilità alle condizioni iniziali spesso è originata dal fatto che la mappa si ripiega e si allunga ripetutamente nello spazio in cui è definita. Nel caso della mappa logistica, l'equazione quadratica che la descrive potrebbe essere interpretata come un'operazione di allungamento e ripiegatura sull'intervallo (0,1).

Diagramma in due e tre dimensioni della mappa logistica.

La figura seguente illustra l'allungamento e il piegamento verso l'alto della sequenza delle iterazioni della mappa. La figura (a), sinistra, da una versione in 2d del diagramma della mappa logistica per r=4, e chiaramente mostra la curva quadratica della equazione differente. Comunque, si può fissare la stessa situazione nella versione 3d del diagramma, in modo da investigare più profondamente la struttura della mappa. La figura (b), destra, dimostra ciò, mostra come inizialmente vicino ai punto inizino a divergere, particolarmente in quelle regioni di X_t corrispondenti alla sezione più ripida del tracciato.

Voci correlate

• L'equazione di Verhulst per la soluzione continua
• Il modello logistico dell'accrescimento demografico, per il significato delle costanti
• Teoria del caos
• Equazione logistica
• Teoria delle biforcazioni

Collegamenti esterni

• The Logistic Map and Chaos by Elmer G. Wiens

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