Funzione di Cantor

In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di [0,1] che non contengono punti dell'insieme di Cantor. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a 1.

La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.

Definizione

Con le basi

La funzione di Cantor $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ è definita nel modo seguente:

1. Scriviamo ogni numero x in [0, 1] in base tre. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.1₃ e 2/3 si scrive come 0.2₃. Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".
2. Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le cifre successive con "0".
3. Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".
4. Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è f(x).

Ad esempio:

• 1/4 = 0.02020202...₃ diventa 0.01010101...₂ = 1/3. Quindi f(1/4)=(1/3).
• 1/5 = 0.01210121...₃, al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi 0.01000000...₂ = 1/4. Quindi f(1/5)=1/4.

Come limite di una successione

La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in [0,1], costruite in questo modo:

• Sia $f_{0}(x)=x$;
• Sia $f_{n}(x)$ una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente $2^{n+1}-1$ lati: 2ⁿ lati sono obliqui di coefficiente angolare (3/2)ⁿ e 2ⁿ-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza (1/3)ⁿ. Per ogni n∈N risulta f_n(0)=0, f_n(1)=1. In figura sono disegnate f₀, f₁ e f₂.

Le prime tre funzioni della successione

Si può "costruire" la n+1-esima poligonale f_n+1 come una trasformazione della f_n: infatti, detti I_k⁽ⁿ⁾, k=1, …, 2ⁿ e J_k⁽ⁿ⁾, k=1, …, 2ⁿ-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k⁽ⁿ⁾) = {k/2ⁿ}), allora è f_n+1 = f_n in J_k⁽ⁿ⁾ per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo I_k⁽ⁿ⁾) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1⁽ⁿ⁺¹⁾ e I_2k⁽ⁿ⁺¹⁾, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo J_2k-1⁽ⁿ⁺¹⁾.

Si può provare che risulta:

$\sup _{p\in \mathbb {N} \ }{\big \{}\max _{x\in [0,1]}\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}{\big \}}\leq \ {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}$.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in [0,1]. Dunque per n→∞ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.

Proprietà

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo (0.x₁x₂x₃...x_n022222..., 0.x₁x₂x₃...x_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.

Voci correlate

• Insieme di Cantor
• Variabile casuale di Cantor
• Curva di Peano
• Curva di Koch

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Cantor, su MathWorld, Wolfram Research.