Insieme di Mandelbrot

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Rappresentazione dell'insieme di Mandelbrot

L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei numeri complessi c\,\! tale per cui non è divergente la successione definita da:

z_{n+1} = {z_n}^2 + c\,\!

con

z_0 = 0\,\!.

L'insieme è un frattale e, nonostante la semplicità della definizione, ha una forma non banale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarla.

L'insieme deve il suo nome a Benoît Mandelbrot che nel 1975 nel suo libro Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension rese popolari i frattali. In questo libro Mandelbrot introdusse il termine frattale per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico". Questo genere di fenomeni nasce dalla definizione di curve od insiemi tramite funzioni o algoritmi ricorsivi.

Indice

[modifica] Storia

L'insieme di Mandelbrot si colloca nella dinamica complessa, campo il cui studio inizia con i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia all'inizio del XX secolo. Le prime immagini dell'insieme di Mandelbrot risalgono al 1978 e fanno parte di uno studio dei gruppi kleiniani di Robert Brooks e Peter Matelski[1].

Mandelbrot studiò lo spazio dei parametri dei polinomi quadratici con un articolo pubblicato nel 1980[2]. Lo studio matematico dell'insieme di Mandelbrot comincia con il lavoro dei matematici Adrien Douady e John H. Hubbard[3], che scoprirono molte fondamentali proprietà di M e diedero il nome di Mandelbrot all'insieme.

I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter divennero famosi per avere promosso l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini[4].

L'articolo di copertina del numero di Scientific American dell'agosto 1985 rappresentava un'immagine creata da Mandelbrot, Peitgen e Hubbard[5].

Il lavoro di Douady e Hubbard coincise con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e nella matematica astratta, e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è stato fin da subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora hanno contribuito alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,[6] [7], Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura, e Jean-Christophe Yoccoz.

[modifica] Definizione formale

Una rappresentazione matematica dell'insieme di Mandelbrot M. I punti che appartengono all'insieme sono colorati di nero, i restanti di bianco.

L'insieme di Mandelbrot M è definito a partire da una famiglia di polinomi quadratici complessi:

f_c:\mathbb C\to\mathbb C

nella forma:

f_c(z) = z^2 + c.\,

dove c è un parametro complesso. Per ogni c si considera il comportamento della successione (0, f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), \ldots) ottenuta iterando fc(z) a partire dal punto z = 0; questa può o divergere all'infinito oppure essere limitata. L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei punti c tali che la corrispondente sequenza è limitata.

Più formalmente, se f^n_c(z) indica l'n-esima iterata di fc(z) (cioè fc(z) composta con sé stessa n volte), l'insieme di Mandelbrot è il sottoinsieme del piano complesso dato da:

M = \left\{c\in \mathbb C : \sup_{n\in \mathbb N}|f^n_c(0)| < \infin\right\}

Dal punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è semplicemente un insieme di numeri complessi. Ogni numero complesso c può appartenere a M oppure no. Una rappresentazione grafica dell'insieme di Mandelbrot può essere ottenuta colorando tutti i punti c che appartengono M di nero, e gli altri di bianco. Le multicolori immagini che si vedono spesso sono generate colorando i punti esterni all'insieme in dipendenza di quanto velocemente la sequenza |f^n_c(0)| diverge all'infinito [1]

[modifica] Condizione di divergenza

Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot Buzzsaw.ogg
Zoom nell'insieme

Si può dimostrare che se il modulo di zn è maggiore di 2 allora la successione divergerà e quindi il punto c sarà esterno all'insieme di Mandelbrot. Il minimo valore di n per cui |zn| > 2 è un indice di quanto "lontano da bordo" si trova un punto e viene spesso utilizzato per la visualizzazione a colori dell'insieme.

[modifica] Relazione con gli insiemi di Julia

L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.

Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell'insieme di Mandelbrot, mentre punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici e i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi connessi.

[modifica] Galleria


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[modifica] Note

  1. ^ Robert Brooks e Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2
  2. ^ Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z\mapsto\lambda z(1-z)\, for complex \lambda,z\,, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
  3. ^ Adrien Douady e John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  4. ^ Chaos: Making a New Science. James Gleick. 1987. p 229.
  5. ^ Fractals: The Patterns of Chaos. John Briggs. 1992. p 80.
  6. ^ Lyubich, Mikhail (May-June, 1999). "Six Lectures on Real and Complex Dynamics". Consultato il 4 aprile 2007.
  7. ^ Lyubich, Mikhail (novembre 1998) Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 95: 14025-14027. DOI:10.1073/pnas.95.24.14025. URL consultato il 4 aprile 2007.

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