Insieme di Mandelbrot

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Una rappresentazione dell'insieme di Mandelbrot.

L'insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche al di fuori dell'ambito matematico per le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.[1]

È l'insieme dei numeri complessi c per i quali la successione definita da:

\begin{cases} z_0 = 0\\
z_{n+1} = {z_n}^2 + c\end{cases}

è limitata.[2] Nonostante la semplicità della definizione, l'insieme ha una forma complessa il cui contorno è un frattale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarlo.

L'insieme prende il nome da Benoît Mandelbrot, colui che nel suo libro Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension (1975) rese popolari i frattali.

Storia[modifica | modifica sorgente]

L'insieme di Mandelbrot si colloca nel campo della dinamica complessa, il cui studio inizia con i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia all'inizio del XX secolo. I primi disegni dell'insieme di Mandelbrot risalgono al 1978 e fanno parte di uno studio di Robert Brooks e Peter Matelski riguardante i gruppi kleiniani;[3] è Benoît Mandelbrot nel 1980 a visualizzare per primo la forma che oggi porta il suo nome e a riconoscere che si tratta di un frattale.[4][5]

Lo studio approfondito di questo insieme comincia nel 1984 con il lavoro dei matematici Adrien Douady e John H. Hubbard, che ne scoprono molte fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot.[6]

L'articolo di copertina del numero di Scientific American dell'agosto 1985, tradotto in italiano su Le Scienze nell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico.[7][8][9] I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter diventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini.[10]

Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,[11][12] Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura e Jean-Christophe Yoccoz.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Una rappresentazione matematica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot M. I punti che appartengono all'insieme sono colorati di nero, i restanti di bianco.

L'insieme di Mandelbrot M è definito a partire da una famiglia di polinomi quadratici complessi:

f_c:\mathbb C\to\mathbb C

nella forma:

f_c(z) = z^2 + c.

dove c è un parametro complesso.

Per ogni c si considera il comportamento della successione

(0, f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), \ldots)

ottenuta iterando f_c(z) a partire dal punto z = 0; questa può o divergere all'infinito oppure essere limitata. L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei punti c tali che la corrispondente successione è limitata.

Più formalmente, se f^n_c(z) indica l'n-esima iterata di f_c(z) (cioè f_c(z) composta con sé stessa n volte), l'insieme di Mandelbrot è il sottoinsieme del piano complesso dato da:

M = \left\{c\in \mathbb C : \sup_{n\in \mathbb N}|f^n_c(0)| < \infin\right\}

Si può dimostrare che se il modulo di z_n è maggiore di 2 allora la successione divergerà e quindi il punto c sarà esterno all'insieme di Mandelbrot.

Rappresentazione grafica[modifica | modifica sorgente]

Zoom nell'insieme

Dal punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è semplicemente un insieme di numeri complessi. Ogni numero complesso c può appartenere a M oppure no. Una rappresentazione grafica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot si ottiene colorando tutti i punti c che appartengono a M di nero e gli altri di bianco.

Le multicolori immagini che si vedono sono generate colorando i punti esterni all'insieme in dipendenza di "quanto velocemente" la sequenza |f^n_c(0)| diverge all'infinito. Il minimo valore di n per cui |z_n| > 2 è un indice di quanto "lontano dal contorno" si trova un punto e viene utilizzato per la rappresentazione "a colori". Paradossalmente, i punti colorati che conferiscono il fascino al frattale di Mandelbrot sono proprio quelli che non appartengono all'insieme.[13]

Relazione con gli insiemi di Julia[modifica | modifica sorgente]

L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.

Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell'insieme di Mandelbrot, mentre punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici e i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi connessi.

Mandelbrot sequence new.gif

Galleria[modifica | modifica sorgente]

Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg
Inizio
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg
Passo 1
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg
Passo 2
Mandel zoom 03 seehorse.jpg
Passo 3
Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg
Passo 4
Mandel zoom 05 tail part.jpg
Passo 5
Mandel zoom 06 double hook.jpg
Passo 6
Mandel zoom 07 satellite.jpg
Passo 7
Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
Passo 8
Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg
Passo 9
Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg
Passo 10
Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg
Passo 11
Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg
Passo 12
Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg
Passo 13
Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg
Passo 14

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Unione matematica italiana, Bollettino della Unione matematica italiana: Matematica nella società e nella cultura, Bologna, N. Zanichelli, 2001, p. 236.
  2. ^ (EN) Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary. URL consultato il 7 ottobre 2007.
  3. ^ Robert Brooks e Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2
  4. ^ (EN) Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z\mapsto\lambda z(1-z) for complex \lambda,z, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
  5. ^ (EN) R.P. Taylor & J.C. Sprott, Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers (PDF) in Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1, Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, 2008. URL consultato il 1º gennaio 2009.
  6. ^ (FR) Adrien Douady e John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  7. ^ (EN) John Briggs, Fractals: The Patterns of Chaos. 1992, p 80.
  8. ^ Archimede, Voll. 39-40; Le Monnier, 1987. p. 109.
  9. ^ Mandelbrot, op. cit., p. 259
  10. ^ (EN) James Gleick, Chaos: Making a New Science, 1987. p. 229.
  11. ^ Lyubich, Mikhail, Six Lectures on Real and Complex Dynamics, maggio-giugno, 1999. URL consultato il 4 aprile 2007.
  12. ^ Mikhail Lyubich, Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family in Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 95, novembre 1998, pp. 14025-14027. DOI:10.1073/pnas.95.24.14025. URL consultato il 4 aprile 2007.
  13. ^ M. Rita Laganà,, Marco Righi; Francesco Romani, Informatica. Concetti e sperimentazioni, 2ª ed., Apogeo Editore, 2007, p. 145.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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