Curva di Koch

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La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. Apparve per la prima volta su un documento del 1904 intitolato Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire del matematico svedese Helge von Koch.

Generazione della curva[modifica | modifica sorgente]

La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva consiste nella ripetizione del ciclo sottostante:

  • Partendo da un segmento di determinata lunghezza
    1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
    2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
    3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.
Costruzione della curva di Koch: prima iterazione

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'auto similarità dei frattali a qualunque livello di scala.

Iterazioni successive

Definizione matematica[modifica | modifica sorgente]

In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo [0,1]. Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su [0,1] e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

Autosomiglianza nella curva di Koch
  • è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;
  • ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;
  • è autosimile: contiene una sua parte che è una trasformazione omotetica della curva intera.
  • non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto x_0 vista su scale sempre più piccole intorno a x_0 tende ad essere vicina ad una retta passante per quel punto, la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa.

Generazione con un grafico di Turtle[modifica | modifica sorgente]

La successione come grafico di Turtle[modifica | modifica sorgente]

Un grafico di Turtle è una curva ottenuta in base a una sequenza e a uno schema di istruzioni prefissato. La curva di Koch è codificata dalla successione di Thue-Morse, usando come input e le seguenti istruzioni:

  • Se t(n) = 0, vai avanti di una unità di lunghezza;
  • Se t(n) = 1, ruota in senso antiorario di 60°.

La curva di Koch e i matematici[modifica | modifica sorgente]

Nel suo libro Les objets fractals Benoît Mandelbrot propone la curva di Koch come un modello sommario della costa di un'isola. Essa è una celebre figura che Cesàro descrive nel seguente modo: «È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo».

Lévy scrisse altresì: «Senza dubbio la nostra intuizione prevedeva che l'assenza di tangente e la lunghezza infinita della curva fossero legate a dei tornanti infinitamente piccoli che non si può pensare di disegnare. Ma si rimane confusi per il fatto che la nostra immaginazione non riesce nemmeno a spingersi oltre i primi passi nella costruzione di questi tornanti infinitamente piccoli». Sulla falsariga di Lévy, Stainhaus scrisse: «Ci avviciniamo alla realtà, considerando che la maggior parte degli archi che s'incontrano nella natura sono non rettificabili. Questa affermazione contrasta con la credenza che gli archi non rettificabili siano un'invenzione dei matematici, e che gli archi naturali siano rettificabili: si verifica invece il contrario».

Charles Hermite, legato a una certa idea di purezza della funzione geometrica, davanti alla curva di Koch dichiarava di «ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata».

Fiocco di neve di Koch[modifica | modifica sorgente]

Fiocco di neve di Koch
Costruzione del fiocco di neve di Koch

È conosciuta anche col nome fiocco di neve di Koch (o stella/isola di Koch), anche se, in questo caso, oltre la curva si considera anche la superficie che essa racchiude.

La costruzione parte da un'isola a forma di triangolo equilatero. Quindi, sul terzo centrale di ciascuno dei tre lati di lunghezza unitaria, si colloca un promontorio a forma di triangolo equilatero, dai lati uguali a 1/3. Si ottiene così un esagono regolare stellato, o stella di David, il cui perimetro ha lunghezza uguale a 4. Allo stesso modo si procede per ciascuno dei suoi dodici lati, e così di seguito.

Particolarità di questa figura è che, pur avendo perimetro infinito, ha superficie finita. Infatti se per l'n-esima iterazione denotiamo con  N_n il numero totale di lati,  L_n la lunghezza di un lato,  P_n il perimetro,  S_n l'area,  \Delta = S_0 l'area del triangolo iniziale e supponiamo per brevità di scrittura  L_0 = 1

Risulta allora

N_n = 3 \cdot 4^n
L_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n
P_n = N_n \cdot L_n

da cui

\lim_{n \to +\infty} P_n = +\infty

mentre per l'area risulta

S_n=S_{n-1} + \frac{\Delta}{3}\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}=\left[1+\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{4}{9}\right)^k \right]\Delta

da cui

\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{8}{5}\Delta

Metodo generalizzato[modifica | modifica sorgente]

Un caso particolare di curva di Koch è la curva di Peano, la quale, per la presenza di punti doppi, degenera in una curva molto particolare. Le curve di Peano hanno avuto un ruolo fondamentale per lo studio del rapporto tra dimensione topologica e frattale.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Helge von Koch, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, Archiv för Matemat., Astron. och Fys. 1, 681-702, 1904.

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Questi sono esempi di celebri costruzioni utilizzando il metodo Koch generalizzato:

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