Dimensione frattale

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Fig.(1) Definizione di dimensione, partendo da un oggetto unitario.[1]

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di box (box counting) per la sua semplice implementazione.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Fig.(2) Costruzione del triangolo di Sierpinski

Esistono due metodi per generare una struttura frattale. Il primo è ingrandire un oggetto unitario (vedi figura 1) e il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale (vedi figura 2). In questo articolo si seguirà la seconda procedura.

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea D, e riduciamo la sua dimensione lineare di un fattore 1/l in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a N=l^D di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale (vedi figura 1).

La dimensione frattale è quindi definita da:

D = \frac{\log N(l)}{\log l}

(dove il logaritmo può essere di qualsiasi base) è ancora uguale alla sua dimensione topologica ed euclidea.[1] Applicando l'equazione precedente alla struttura frattale, si può ottenere la dimensione frattale di tale struttura:

D = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilon}}

dove N(ε) indica la similarità della struttura lineare ε che serve per ricoprire l'intera struttura.

Ad esempio, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski rappresentato in figura 2, è dato da:

 D = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)} =\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log3^k}{\log2^k} = \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1.585.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Dimensione frattale

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