Auto similarità

La curva di Koch ha un'autosimilarità ripetuta infinite volte quando viene ingrandita.

In matematica, un oggetto auto-simile è esattamente o approssimativamente simile a una sua parte (cioè una o più delle sue parti è internamente omotetica al tutto). Molti oggetti nel mondo reale, come ad esempio le coste, sono statisticamente auto-simili: parti di questi oggetti mostrano le stesse proprietà statistiche a molte scale. L'auto-similarità è una proprietà tipica dei frattali.

L'invarianza di scala è una forma esatta di auto-similarità, dove ad ogni ingrandimento c'è una parte dell'oggetto che è simile al tutto. Per esempio, un lato del fiocco di Koch è sia simmetrico che invariante di scala: può essere ingrandito di un fattore 3 senza cambiare forma.

Definizione

Uno spazio topologico compatto X è auto-simile se esiste un insieme finito S di indici di un insieme di omeomorfismi non suriettivi $\lbrace f_s\rbrace_{s\in S}$ per cui

$X=\cup_{s\in S} f_s(X)$

Se $X\subset Y$, diciamo che X è auto-simile se è il solo sottoinsieme non-vuoto di Y tale che l'equazione precedente vale per $\lbrace f_s\rbrace_{s\in S}$. Una struttura auto-simile è formata dalla terna

$\mathfrak{L}=(X,S,\lbrace f_s\rbrace_{s\in S})$

Gli omeomorfismi possono essere iterati, dando origine a un sistema di funzioni iterate. La composizione di funzioni crea la struttura algebrica di monoide. Quando l'insieme S ha solo due elementi, il monoide è detto monoide diadico. Il monoide diadico può essere rappresentato come un albero binario infinito; più in generale, se l'insieme S ha p elementi, allora il monoide può essere rappresentato come un albero con numero di coordinazione p.

Gli automorfismi di un monoide diadico formano il gruppo modulare. Gli automorfismi possono essere rappresentati come le rotazioni iperboliche dell'albero binario.

Esempi

Auto-similarità nell'insieme di Mandelbrot mostrata zoomando sul punto di Feigenbaum a (-1.401155189...,0)

Immagine di una felce che presenta auto-similarità affine

L'insieme di Mandelbrot è autosimile attorno ai punti di Misiurewicz.

L'autosimilarità ha importanti conseguenze nel progetto di reti di computer, poiché il tipico traffico sulla rete ha proprietà di autosimilarità. Ad esempio, nell'ingegneria delle telecomunicazioni, le sequenze di dati in reti a commutazione di pacchetto sembrano essere auto-simili. Questa proprietà significa che semplici modelli che utilizzano una distribuzione di Poisson sono inadeguati e le reti progettate senza considerare l'auto-similarità hanno grandi probabilità di funzionare in modo inaspettato.

Le piante sono oggetti auto-simili presenti in natura. L'immagine a fianco è un esempio, benché generato al computer, di autosimilarità. Le felci reali, tuttavia, sono estremamente vicine all'auto-similarità reale.

Collegamenti esterni

• "Copperplate Chevrons" — Zoom di un frattale auto-simile

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