Monoide

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Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b, rispettando i seguenti assiomi:

Chiusura

Per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M, vale a dire che M è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma)

Associatività

Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc) (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo)

Elemento neutro

Esiste in M un elemento neutro e tale che a e = e a = a per ogni a in M.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se e, f sono entrambi elementi neutri, si ha f = e  f = e, dove la prima eguaglianza segue dal fatto che e è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è f.

Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.

Monoidi e gruppi[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.

Un elemento a del monoide M si dice invertibile se esiste in M un suo inverso, cioè un elemento b in M tale che a b = b a = e. Se esiste, questo elemento b è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di a. Infatti se b, c sono entrambi inversi di a, si ha b = b  e = b  (a  c) = (b  a)  c = e  c = c, dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che c è un inverso di a, dalla proprietà associativa, dal fatto che b è un inverso di a, e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide M è invertibile, allora M è un gruppo.

Più in generale, sia M un monoide qualsiasi, e sia G l'insieme degli elementi invertibili di M. Intanto, G non è vuoto, perché si vede subito che contiene e. E poi si può vedere che G è un gruppo rispetto alla stessa operazione di M. Il gruppo G viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide M.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

L'insieme dei numeri interi Z con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.

Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni f: X \to X definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione (f(g))(x):= (f \circ g)(x) = f(g(x)). L'elemento neutro è dato dalla funzione identità id : X \to X, id(x):= x. Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.

Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine n su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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