Trasformazione affine

 

La Francia e la sua immagine dopo una trasformazione affine. Le rette della griglia rimangono dritte, ma cambiano gli angoli e le lunghezze

In geometria, una trasformazione affine dello spazio euclideo è una trasformazione del tipo

$x\mapsto \mathbf{A}x+ \vec b \$

ovvero la composizione di una trasformazione lineare determinata da una matrice $\mathbf{A}$ e di una traslazione determinata da un vettore $\vec b$.

Le trasformazioni affini sono le trasformazioni più generali che preservano i sottospazi affini. Tra queste, giocano un ruolo importante le affinità: queste sono le trasformazioni affini di uno spazio in se stesso, che sono anche una corrispondenza biunivoca.

Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, rototraslazioni, riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze.

Definizione

Nello spazio euclideo

Una trasformazione affine

$f:\R^n\to\R^m$

fra due spazi euclidei è una trasformazione del tipo

$x\mapsto Ax+b$

dove A è una matrice $m\times n$, b è un vettore di $\R^m$ fissato e si fa uso del prodotto fra una matrice ed un vettore.

In uno spazio vettoriale

Una trasformazione affine fra due spazi vettoriali V e W più generali è la composizione di una trasformazione lineare

$f:V\to W\,\!$

con una traslazione

$t:w\mapsto w+b$

determinata da un vettore fissato b di W.

In uno spazio affine

Una trasformazione affine fra due spazi affini A e A' è una funzione

$f:A\to A'\,\!$

per cui esiste una funzione lineare

$\phi:V\to V'\,\!$

fra i due spazi vettoriali associati a A ed A' tale che

$\overrightarrow{f(P)f(Q)} = \phi(\overrightarrow{PQ}).$

Legami fra le definizioni

Ciascuna definizione generalizza la precedente: l'ultima definizione è quindi la più generale e non dipende da un fissato riferimento affine. D'altra parte, fissati due riferimenti per gli spazi affini A e A', una trasformazione affine è comunque esprimibile come

$x\mapsto Ax+b$

come nella prima definizione.

Affinità

Una affinità è una trasformazione affine biiettiva in cui dominio e codominio coincidono.

Alcuni autori, nella definizione di trasformazione affine, richiedono che questa sia iniettiva.

Esempi

Trasformazioni lineari

Nella notazione

$x\mapsto Ax+b$

Il vettore b corrisponde all'immagine dell'origine

$0\mapsto A0+b = b.$

Una trasformazione lineare è una trasformazione affine che non sposta l'origine: in altre parole, una trasformazione con b = 0.

Tra le trasformazioni lineari vi sono molte affinità, quali le rotazioni intorno all'origine e le riflessioni rispetto a sottospazi che passano per l'origine. Ad esempio, la rotazione di angolo θ nel piano cartesiano è del tipo

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$

Traslazioni

D'altro canto, una affinità dove A = I è la matrice identità è una traslazione

$x\mapsto I\cdot x+b = x+b.$

Una traslazione, a differenza di una trasformazione lineare, non ha mai un punto fisso.

Composizioni

Ogni affinità è composizione di una trasformazione lineare e di una traslazione. Ne è un esempio la rototraslazione nello spazio tridimensionale, ottenuta componendo una rotazione di angolo θ lungo un asse con una traslazione di passo t lungo il medesimo. Ad esempio, se l'asse è quello delle z la rototraslazione ha la forma

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{bmatrix}.$

Rappresentazione matriciale

Una affinità

$x\mapsto Ax+b$

è determinata da una matrice quadrata A e da un vettore b. Per utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare è però utile rappresentare una affinità con una matrice sola: per fare questo si aggiunge un valore fittizio "1" in fondo al vettore x e si rappresenta la trasformazione nel modo seguente

$\begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} A & b \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ax + b \\ 1 \end{bmatrix}$

La matrice associata all'affinità con queste notazioni è quindi

$\begin{bmatrix} A & b \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix}.$

In questo modo, la composizione di due trasformazioni affini è rappresentata dal prodotto delle due matrici corrispondenti. La trasformazione identità è rappresentata dalla matrice identità.

Per essere invertibile, il determinante det A deve essere diverso da zero. La matrice inversa, che rappresenta la trasformazione inversa, è la seguente

$\begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}b \ \\ 0,\ldots,0 & 1 \end{bmatrix}.$

Con questa notazione, le trasformazioni affini di Kⁿ risultano essere un sottogruppo del gruppo generale lineare

$\operatorname{GL}_{n+1}(K)$

delle matrici invertibili $(n+1)\times (n+1)$ a coefficienti nel campo K.

Proprietà

Punti fissi

Una affinità è rappresentata da una matrice quadrata A. Se A non ha 1 fra i suoi autovalori, l'affinità ha sempre un punto fisso. Infatti l'equazione Ax + b = x può essere riscritta come (A − I)x = b.

Poiché 1 non è autovalore di A, il nucleo di (A − I) ha dimensione zero e quindi (A − I) è suriettiva, ovvero la matrice (A − I) è invertibile ed esiste un x che soddisfa l'equazione. Questo è dato da x = (A − I) ^{− 1}b.

Le traslazioni non hanno punti fissi: infatti per queste A = I ha l'autovalore 1.

Punti e rette unite

Data l'affinità α→π:π si dice punto unito il punto U Є π tale che α(U)=U.

Data l'affinità α→π:π si dice retta unita la retta che ha se stessa come immagine.

Indipendenza affine

Una affinità di uno spazio affine A manda punti affinemente indipendenti in punti affinemente indipendenti.

Se lo spazio affine ha dimensione n e

$\{P_0,\ldots,P_n\}, \quad \{Q_0,\ldots,Q_n\}$

sono due insiemi di n + 1 punti affinemente indipendenti, esiste un'unica affinità f di A che manda i primi nei secondi, cioè tale che f(P_i) = Q_i per ogni i.

Voci correlate

• Affinità (geometria descrittiva)
• Geometria affine
• Rotazione parabolica
• Trasformazione lineare
• Trasformazione proiettiva

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