Stabilità interna

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Nella teoria dei sistemi dinamici, in particolare nello studio della loro stabilità, il concetto di stabilità interna descrive il comportamento di un sistema nelle vicinanze di un punto di equilibrio. Intuitivamente, un punto di equilibrio stabile è un punto che non risente delle piccole perturbazioni: se ci si sposta poco da un punto stabile il sistema continuerà a rimanere anche in futuro nelle vicinanze di quel punto. L'esempio più semplice è quello di una pallina disposta esattamente nel fondo di una valle: se la si spostasse di poco dal fondo, essa può rotolare in basso ed oscillare, ma la sua distanza dal punto di equilibrio non aumenta mai eccessivamente.

Una palla nel fondo di una valle è in una posizione di equilibrio stabile, mentre una in cima ad una collina è in posizione di equilibrio instabile.

Viceversa, un punto di equilibrio instabile è tale per cui basta una perturbazione arbitrariamente piccola dall'equilibrio per far allontanare significativamente il sistema dalla posizione iniziale. Un esempio è una pallina disposta sulla cima di una collina.

In fisica, il teorema di Lagrange-Dirichlet considera sistemi olonomi soggetti a forze conservative e con vincoli perfetti (bilaterali) indipendenti dal tempo: stabilisce che se l'energia potenziale ha un minimo relativo proprio quando il sistema assume una certa configurazione, allora in corrispondenza di tale configurazione il sistema è in equilibrio meccanico stabile.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità del punto di equilibrio x_0: le soluzioni che partono dentro V rimangono in U per tutta l'evoluzione del sistema.
Instabilità in un sistema dinamico.

Dato un sistema dinamico descritto dal sistema autonomo non lineare:

\dot{x} = f(x(t)) \qquad x(0) = x_0

con x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n, dove \mathcal{D} è un insieme aperto contenente l'origine, e f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n una funzione continua su \mathcal{D}. Sia x_0 un punto di equilibrio, cioè  f(x_0)=0 .

  • Il punto di equilibrio x_0 è detto stabile (secondo Lyapunov), se per ogni intorno U del punto x_0 esiste un intorno V \subset U tale che le orbite che partono da punti interni a V rimangono dentro U per tutti i tempi t>0.
Esplicitamente, per ogni \epsilon > 0 esiste \delta = \delta(\epsilon) > 0 tale che, se \|x(0)-x_0 \| < \delta, allora per ogni t \geq 0 si ha \|x(t)-x_0 \| < \epsilon.
  • Il punto di equilibrio x_0 è detto attrattivo se esiste un intorno U di x_0 tale che per ogni orbita x(t) che parta da un punto interno ad U si ha:
 \lim_{t \to +\infty} x(t)=x_0
Il più grande intorno U per cui ciò avviene è chiamato bacino di attrazione del punto x_0.
  • Il punto di equilibrio x_0 è detto asintoticamente stabile se è stabile e attrattivo. Ovvero, esiste \delta > 0 tale che se \|x(0)-x_0 \|< \delta allora \lim_{t \rightarrow \infty} \|x(t)-x_0\| = 0.
  • Un punto di equilibrio x_0 è detto esponenzialmente stabile se è asintoticamente stabile ed esistono \alpha, \beta, \delta >0 tali per cui, se \|x(0)-x_0 \| < \delta, si ha:
\|x(t)-x_0\| \leq \alpha\|x(0)-x_0\|e^{-\beta t} \qquad t \geq 0
  • Un punto di equilibrio si dice instabile se non è stabile, ovvero se esiste un intorno U di x_0 tale che comunque si scelga un intorno V di x_0 si può sempre trovare una posizione iniziale x \in V tale che l'orbita di x si allontana da x_0 abbastanza da uscire da U.
Sistema dinamico con punto di equilibrio attrattivo e instabile

Un punto di equilibrio stabile in generale non è attrattivo, ad esempio il punto di equilibrio di un oscillatore armonico è stabile ma non attrattivo. D'altra parte, un punto di equilibrio attrattivo non è necessariamente stabile. La proprietà di stabilità è una proprietà locale, potendo essere osservata considerando intorni arbitrariamente piccoli del punto di equilibrio. La proprietà di attrattività invece non lo è: anche se il bacino di attrazione è molto piccolo, o contiene intorni arbitrariamente piccoli, per verificare se un punto vi appartiene occorre seguire tutta la sua traiettoria che potrebbe allontanarsi arbitrariamente da x_0.

Un esempio di sistema dinamico con un punto di equilibrio che è attrattivo ma non stabile è quello definito dal flusso di un campo vettoriale sulla circonferenza che la percorra tutta in senso orario e si annulli in un unico punto di equilibrio. Ad esempio, si può considerare il sistema dinamico espresso dall'equazione differenziale sulla circonferenza data da:

\dot{\theta}=1-cos(\theta)

Qui \theta=0 è un punto di equilibrio e le orbite che partono da qualsiasi altro punto della circonferenza vi convergono "dal basso" girando in senso orario. Questo significa che il punto è attrattivo ed il suo bacino di attrazione è l'intera circonferenza. D'altra parte il punto ha un equilibrio instabile visto che tutte le orbite che partono da punti "sopra" di esso (arbitrariamente vicini) si allontanano uscendo da qualsiasi intorno prefissato.

Teoremi di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

I due teoremi di Lyapunov forniscono condizioni sufficienti per la stabilità in prossimità di un punto di equilibrio.

Primo teorema di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il sistema dinamico rappresentato dalla seguente equazione differenziale:

\dot y = f(x)
 f(x_0)=0

dove il vettore di funzioni \dot y indica la derivata del vettore di funzioni y. Il punto di equilibrio \ x_0 è asintoticamente stabile se gli autovalori della matrice jacobiana \operatorname D f(x_0) hanno parte reale negativa.

Il risultato è analogo a quanto avviene per i sistemi lineari del tipo  \dot x = Ax , per i quali la stabilità dipende dagli autovalori della matrice  A, ed era noto ben prima della nascita della Teoria di Stabilità secondo Lyapunov. Infatti può essere ottenuto sviluppando in serie di Taylor il campo vettoriale del sistema:

 f(x) = f(x_0) +  D f(x_0)(x - x_0) + O(x - x_0)^2

essendo f(x_0)=0 e supponendo che i termini di ordine superiore  \ O(x - x_0)^2 dello sviluppo in serie siano trascurabil. Si ottiene:

f(x) = D f(x_0)(x - x_0)

da cui segue:

\dot y = D f(x_0)(x - x_0)

Dunque si ottiene un sistema dinamico lineare (detto linearizzato), che approssima il comportamento del sistema non lineare in un intorno del punto di equilibrio. La dimensione dell'intorno dipende dalle caratteristiche del campo vettoriale ed è tanto maggiore, quanto maggiore è la possibilità di trascurare i termini di ordine superiore che compaiono nello sviluppo in serie. Il risultato è ottenuto per deduzione logica, ma non fu verificato che la stabilità del sistema linearizzato fosse legata al sistema non lineare di partenza fino all'avvento della teoria di Lyapunov.

Secondo teorema di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Facendo riferimento al sistema dinamico precedente, si consideri una funzione V(x): \R^n \to \R definita positiva e con derivata definita negativa:

V(x) \ge 0 \quad V(x_o) = 0 \qquad \forall{x}
 \dot{V}(x) \le 0 \quad \dot{V}(x_o) = 0 \qquad \forall{x}

Allora V(x) è detta funzione di Lyapunov candidata e il sistema è asintoticamente stabile nel senso di Lyapunov.

È semplice visualizzare questo metodo di analisi pensando ad un sistema fisico (ad esempio, una massa oscillante collegata a una molla) e considerando l'energia di questo sistema. Se il sistema perde energia nel tempo e l'energia non è mai rimpiazzata allora alla fine il sistema deve fermarsi in un determinato stato finale. Questo stato finale è definito attrattore. In generale, trovare una funzione che rappresenti esattamente l'energia di un sistema fisico può essere difficile, e per modelli matematici astratti, sistemi economici o biologici, il concetto di energia potrebbe non essere applicabile.

Il risultato di Lyapunov indica che la stabilità può essere provata senza richiedere la conoscenza dell'effettiva energia fisica del sistema, a condizione che sia possibile trovare una funzione di Lyapunov che soddisfi i vincoli suddetti.

Interpretazione[modifica | modifica wikitesto]

Il criterio è una generalizzazione del fatto, ben noto nella fisica, che un sistema meccanico, se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima. La funzione di Lyapunov può quindi essere interpretata come una funzione di energia potenziale generalizzata. Il criterio dice che uno stato di equilibrio è stabile se:

  • è minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste una funzione di Lyapunov definita positiva)
  • se il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa).

Il criterio fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria. Non è detto in generale che l'origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell'origine. Inoltre non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema, ma si deve cercare per tentativi, basandosi sul tipo di funzione di stato e su considerazioni puramente fisiche.

Esempio: l'oscillatore armonico[modifica | modifica wikitesto]

L'oscillatore armonico è un classico esempio utilizzato per chiarire i concetti di stabilità. Il sistema è costituito da una molla che da un lato è vincolata ad un piano e dall'altro è collegata ad una massa. Se si suppone che nel sistema non ci sia attrito, dopo aver compresso (o allungato) la molla, la massa inizierà ad oscillare per un tempo indefinito, senza mai fermarsi. Se si provano ad immaginare le traiettorie del sistema, queste oscilleranno intorno al punto di equilibrio: si tratta di un sistema stabile, e le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente dal punto di equilibrio. Se si suppone che nel sistema sia presente attrito, le oscillazioni saranno smorzate e dopo un po' di tempo il sistema si arresterà nella posizione di riposo (di equilibrio). Dunque le traiettorie inizialmente oscilleranno in un intorno del punto di equilibrio, per poi arrestarsi nella posizione di equilibrio. Si tratta di un sistema asintoticamente stabile, le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente e dopo un certo tempo convergono al punto di equilibrio, arrestandosi in esso.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Ljapunov, 1983. The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) Stability of Motion, Academic Press, New-York & London, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion, (A.T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work.
  • (EN) Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, NJ, 1991
  • (EN) Parks P.C: "A. M. Lyapunov's stability theory - 100 years on", IMA Journal of Mathematical Control & Information 1992 9 275-303
  • (EN) G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
  • (EN) S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, 2ª ed., New York, Springer Verlag, 2003, ISBN 0-387-00177-8.

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