Stabilità interna

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1leftarrow.pngVoce principale: Stabilità (sistema).

Nella teoria dei sistemi dinamici il concetto di stabilità interna descrive il comportamento di un sistema nelle vicinanze di un punto di equilibrio. Intuitivamente un punto di equilibrio stabile è un punto che non risente delle piccole perturbazioni: se ci si sposta poco da un punto stabile il sistema continuerà a rimanere anche in futuro nelle vicinanze di quel punto. L'esempio più semplice è quello di una pallina disposta esattamente nel fondo di una valle, se la spostiamo di poco dal fondo può rotolare in basso ed oscillare ma non aumenta la sua distanza dal punto di equilibrio.

Una palla nel fondo di una valle è in una posizione di equilibrio stabile, una in cima ad una collina è in posizione di equilibrio instabile

Viceversa un punto di equilibrio instabile è tale per cui basta una perturbazione arbitrariamente piccola dall'equilibrio per far allontanare significativamente il sistema dalla posizione iniziale. Un esempio è una pallina disposta sulla cima di una collina.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione grafica della stabilità in un sistema dinamico.
Rappresentazione grafica dell'instabilità in un sistema dinamico.

In un sistema dinamico:

  • Un punto di equilibrio x_0 del sistema è detto stabile (secondo Lyapunov), se per ogni intorno U del punto x_0 esiste un intorno V dello stesso punto contenuto in U tale che le orbite che partono da punti interni a V rimangono dentro U per tutti i tempi t>0.
  • Il punto di equilibrio x_0 è detto attrattivo se esiste un intorno U di x_0 tale che per ogni orbita x(t) che parta da un punto interno ad U si ha
 \lim_{t \to +\infty} x(t)=x_0
Il più grande intorno U per cui ciò avviene è chiamato bacino di attrazione del punto x_0.
  • Un punto di equilibrio x_0 è detto asintoticamente stabile se è stabile e attrattivo.
  • Un punto di equilibrio si dice instabile se non è stabile, ovvero se esiste un intorno U di x_0 tale che comunque si scelga un intorno V di x_0 si può sempre trovare una posizione iniziale x \in V tale che l'orbita di x si allontana da x_0 abbastanza da uscire da U.
  • Un punto di equilibrio x_0 è detto esponenzialmente stabile se è asintoticamente stabile e
\exist \, k,a \, : \, \ |x(t) - x_0| < ke^{-at} con \ k, a > 0

Esempio: L'oscillatore armonico[modifica | modifica wikitesto]

L'oscillatore armonico è un classico esempio per chiarire i concetti di stabilità. Il sistema è costituito da una molla che da un lato è vincolata ad un piano e dall'altro è collegata ad una massa. Se supponiamo che nel sistema non ci sia attrito, dopo aver compresso (o allungato) la molla, la massa inizierà ad oscillare per un tempo indefinito, senza mai fermarsi. Se proviamo ad immaginare le traiettorie del sistema, queste oscilleranno intorno al punto di equilibrio. Siamo di fronte ad un sistema stabile, le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente dal punto di equilibrio, ma non convergono ad esso.

Se supponiamo che nel sistema sia presente attrito, le oscillazioni saranno smorzate e dopo un po' di tempo il sistema si arresterà nella posizione di riposo (di equilibrio). Dunque le traiettorie inizialmente oscilleranno in un intorno del punto di equilibrio, per poi arrestarsi nella posizione di equilibrio. Siamo di fronte ad un sistema asintoticamente stabile, le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente e dopo un po' di tempo convergono al punto di equilibrio, arrestandosi in esso.

Stabilità e attrattività[modifica | modifica wikitesto]

Un punto di equilibrio stabile in generale non è attrattivo, ad esempio il punto di equilibrio di un oscillatore armonico è stabile ma non attrattivo:

\dot{x}=y
\dot{y}=-x
Sistema dinamico con punto di equilibrio attrattivo e instabile

D'altra parte, un punto di equilibrio attrattivo non è necessariamente stabile. La proprietà di stabilità appena definita è una proprietà locale: può essere osservata guardando intorni arbitrariamente piccoli del punto di equilibrio. La proprietà di attrattività invece non lo è: anche se il bacino di attrazione è molto piccolo, o contiene intorni arbitrariamente piccoli, per verificare se un punto vi appartiene occorre seguire tutta la sua traiettoria che potrebbe allontanarsi arbitrariamente da x_0.

Un esempio di sistema dinamico con un punto di equilibrio che è attrattivo ma non stabile è quello definito dal flusso di un campo vettoriale sulla circonferenza che la percorra tutta in senso orario e si annulli in un unico punto di equilibrio. Ad esempio, si può considerare il sistema dinamico espresso dall'equazione differenziale sulla circonferenza data da:

\dot{\theta}=1-cos(\theta)

Qui \theta=0 è un punto di equilibrio e le orbite che partono da qualsiasi altro punto della circonferenza vi convergono "dal basso" girando in senso orario. Questo significa che il punto è attrattivo ed il suo bacino di attrazione è l'intera circonferenza. D'altra parte il punto ha un equilibrio instabile visto che tutte le orbite che partono da punti "sopra" di esso (arbitrariamente vicini) si allontanano uscendo da qualsiasi intorno prefissato.

Teoremi di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Dirichlet-Lagrange.

I due teoremi di Lyapunov forniscono condizioni sufficienti per la stabilità.

Primo teorema di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il sistema dinamico rappresentato dalla seguente equazione differenziale:

\dot y = f(x)
\ f(x_0)=0

dove il vettore di funzioni \dot y \,\, indica la derivata del vettore di funzioni y. Il punto di equilibrio \ x_0 è asintoticamente stabile se gli autovalori della matrice jacobiana \operatorname D f(x_0) hanno parte reale negativa.

Il risultato è analogo a quanto avviene per i sistemi lineari del tipo  \dot x = Ax , per i quali la stabilità dipende dagli autovalori della matrice  A, ed era noto ben prima della nascita della Teoria di Stabilità secondo Lyapunov. Infatti può essere ottenuto sviluppando in serie di Taylor il campo vettoriale del sistema:

\ f(x) = f(x_0) +  D f(x_0)(x - x_0) + O(x - x_0)^2

essendo \ f(x_0)=0 e supponendo che i termini di ordine superiore  \ O(x - x_0)^2 dello sviluppo in serie siano trascurabil. Si ottiene:

\ f(x) = D f(x_0)(x - x_0)

da cui segue:

\dot y = D f(x_0)(x - x_0)

Dunque si ottiene un sistema dinamico lineare (detto linearizzato), che approssima il comportamento del sistema non lineare in un intorno del punto di equilibrio. La dimensione dell'intorno dipende dalle caratteristiche del campo vettoriale ed è tanto maggiore, quanto maggiore è la possibilità di trascurare i termini di ordine superiore che compaiono nello sviluppo in serie. Il risultato è ottenuto per deduzione logica, ma non fu verificato che la stabilità del sistema linearizzato fosse legata al sistema non lineare di partenza fino all'avvento della teoria di Lyapunov.

Secondo teorema di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Facendo riferimento al sistema dinamico considerato nel paragrafo precedente, si consideri una funzione V(x) : RnR definita positiva e con derivata definita negativa:

  • V(x) \ge 0 \quad V(x_o) = 0 \qquad \forall{x}
  •  \dot{V}(x) \le 0 \quad \dot{V}(x_o) = 0 \qquad \forall{x}

Allora V(x) è detta funzione di Lyapunov candidata e il sistema è asintoticamente stabile nel senso di Lyapunov.

È semplice visualizzare questo metodo di analisi pensando ad un sistema fisico (ad esempio, una massa oscillante collegata a una molla) e considerando l'energia di questo sistema. Se il sistema perde energia nel tempo e l'energia non è mai rimpiazzata allora alla fine il sistema deve fermarsi in un determinato stato finale. Questo stato finale è definito attrattore. Comunque, trovare una funzione che rappresenti esattamente l'energia di un sistema fisico può essere difficile, e per modelli matematici astratti, sistemi economici o biologici, il concetto di energia potrebbe non essere applicabile.

Il risultato di Lyapunov indica che la stabilità può essere provata senza richiedere la conoscenza dell'effettiva energia fisica del sistema, a condizione che sia possibile trovare una funzione di Lyapunov che soddisfi i vincoli suddetti.

Interpretazione[modifica | modifica wikitesto]

Il criterio è una generalizzazione del fatto, ben noto nella fisica, che un sistema meccanico, se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima. La funzione di Lyapunov può quindi essere interpretata come una funzione di energia potenziale generalizzata. Il criterio dice che uno stato di equilibrio è stabile se:

  • è minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste una funzione di Lyapunov definita positiva)
  • se il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa).

Il criterio è una condizione sufficiente ma non necessaria. Non è detto in generale che l'origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell'origine. Inoltre non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema, ma si deve cercare per tentativi, basandosi sul tipo di funzione di stato e su considerazioni puramente fisiche.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Ljapunov, 1983. The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) Stability of Motion, Academic Press, New-York & London, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion, (A.T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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