Funzione definita positiva

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In matematica, una funzione di variabile reale si dice definita positiva attorno ad un punto  p quando in corrispondenza di p essa si annulli, ed intorno a p essa assuma valori strettamente positivi.

L'analisi delle funzioni definite positive (e delle matrici definite positive, concetto strettamente correlato attraverso la teoria delle coniche e delle quadriche) è di estremo interesse per molte branche della matematica.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Una funzione V\left(\underline{x}\right):R^n\rightarrow R continua si dice definita positiva in un intorno sferico U_\rho\left(p\right) di raggio \rho di un punto p se e solo se:

  1. V\left(p\right)=0
  2. V\left(\underline{x}\right)>0 per ogni \underline{x} \in U_\rho\left(p\right),\underline{x}\ne p

Mediante il concetto di funzione di classe k è possibile generalizzare questa definizione a funzioni qualunque. Una funzione (non necessariamente continua) V\left(\underline{x}\right):R^n\rightarrow R si dice infatti definita positiva in U_\rho\left(p\right) se:

  1. V\left(p\right)=0
  2. Esiste una funzione di classe k \varphi\left(x\right) tale che: V\left(\underline{x}\right)\ge\varphi\left(\left \|x\right\|\right) per ogni \underline{x} \in U_\rho\left(p\right)

Analisi complessa[modifica | modifica sorgente]

Una funzione definita positiva di una variabile reale x è una funzione complessa  f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}

tale che per ogni n-upla di numeri reali

x1, ..., xn

la matrice A ∈ Mn×n(C) di valori

aij = f(xixj)

è una matrice semi-definita positiva. È frequente limitarsi al caso in cui f(−x) sia il complesso coniugato di f(x), rendendo la matrice A Hermitiana.

Se una funzione f è semidefinita positiva, troviamo ponendo n = 1 che:

f(0) ≥ 0.

Ponendo n=2 e ricordando che una matrice definita positiva ha un determinante positivo otteniamo:

f(xy)f(yx) ≤ f(0)2

il che implica

|f(x)| ≤ f(0).

Il concetto di funzione definita positiva sorge naturalmente nella teoria della trasformata di Fourier; è facile dimostrare direttamente che essere definita positiva è una condizione necessaria perché f sia la trasformata di Fourier di una funzione g sull'asse reale con g(y) ≥ 0.

Il risultato inverso è il teorema di Bochner, che afferma che una funzione continua definita positiva sull'asse reale è la trasformata di Fourier di una misura (positiva) [1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Salomon Bochner, Lectures on Fourier integrals, Princeton University Press, 1959.
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