Punto di equilibrio

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Un punto di equilibrio di un sistema dinamico è un punto in corrispondenza del quale l'evoluzione del sistema è stazionaria.

Dato un sistema autonomo \dot \mathbf x(t) = \mathbf f (\mathbf x(t)), il vettore \mathbf x_0 è un punto di equilibrio se f(\mathbf x_0)=0. In tal caso la funzione \mathbf x(t)  = \mathbf x_0 è una soluzione (stazionaria) per ogni t. Le soluzioni stazionarie sono tutti e soli i punti di equilibrio dell'equazione, la cui ricerca coincide quindi con il trovare gli zeri del campo vettoriale \mathbf f.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se il sistema dinamico è determinato da una equazione differenziale (o un sistema di equazioni):

\frac{d}{dt} x(t)=F( x(t),t)

un punto di equilibrio è un punto x_0 tale che F(x_0,t)=0 per ogni t. Questa condizione implica infatti che:

\frac{d}{dt} x(t)=0

da cui, integrando, si ottiene x(t)=cost indipendentemente dal tempo t, ovvero il sistema tende a rimanere immutato alle condizioni descritte dal punto x_0. Di particolare interesse è lo studio delle derivate (o la jacobiana) di f in corrispondenza dei punti di equilibrio, poiché fornisce diverse informazioni sul comportamento locale della soluzione.

Se il sistema dinamico è determinato da un'equazione di ricorrenza:

x_{n+1}=T(x_n,n)

allora un punto di equilibrio è un punto x_0 che sia un punto fisso delle mappe T(x_i,i), ovvero tale che T(x_0,n)=0 per ogni n.

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Stabilità interna.

I punti di equilibrio possono essere classificati linearizzando l'equazione, e osservando il segno degli autovalori della matrice jacobiana (relativa al sistema linearizzato) valutata nel punto di equilibrio.

Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale nulla. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa il punto di equilibrio è stabile, mentre se almeno un autovalore ha parte reale positiva l'equilibrio è instabile. Infine, se ci sono almeno un autovalore che ha parte reale positiva e uno che ha parte reale negativa, il punto è un punto di sella.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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