Punto di equilibrio iperbolico

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In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico è un particolare tipo di punto di equilibrio.

La parola iperbolico è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Se

T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

è una funzione in C1 e p è un punto di equilibrio allora p è detto punto di equilibrio iperbolico nel caso in cui il differenziale DT(p) non abbia autovalori sul cerchio unitario.

Flussi[modifica | modifica wikitesto]

Sia

F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

un campo vettoriale in C1 (cioè continuo e differenziabile) con un punto critico p e sia J la matrice Jacobiana di F al punto p. Se la matrice J non ha autovalori con parte reale nulla, allora p è chiamato iperbolico.[1]

Il Teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Considera il seguente sistema non lineare:

\frac{ dx }{ dt } = y,
\frac{ dy }{ dt } = -x-x^3-\alpha y,~ \alpha \ne 0

(0,0) è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è

J(0,0) = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & -\alpha \end{pmatrix}.

Gli autovalori della matrice sono \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-4} }{2}. Per tutti i valori di \alpha \ne 0, gli autovalori hanno parte reale non nulla. Quindi, questo punto di equilibrio è un punto di equilibrio iperbolico. Il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di (0,0). Quando \alpha=0, il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in (0,0).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]