Approssimazione lineare

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.

Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni reali di variabile reale[modifica | modifica wikitesto]

Retta tangente al grafico della funzione nel punto (a, f(a)).

Sia f : E \subseteq \R \to \R una funzione reale di variabile reale derivabile in E. Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in a \in E, arrestato al primo ordine:

 f(x) = f(a) + f^{\prime}(a)(x-a) + o(x-a)

dove la notazione o piccolo o(x-a) indica che:

\lim_{x\to a}\frac{o(x-a)}{x-a} = 0

cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:

 f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x-a)

che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a. Questa è la retta che approssima linearmente f attorno ad a, ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

Funzioni di variabile vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Il piano illustrato approssima linearmente la funzione (a due variabili) attorno al punto di tangenza (in questo caso, il massimo della funzione).

Sia f : \Omega \subseteq \R^n \to \R una funzione reale a n variabili reali x_1, \cdots, x_n, differenziabile in \Omega aperto. Lo sviluppo al primo ordine di f attorno ad \mathbf{a} \in \Omega si può scrivere:

 f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + o(\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \|)

dove:

 \nabla f(\mathbf{a}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a})\right)

è il gradiente di f calcolato nel punto \mathbf{a} e

 \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = \sum_{i=0}^{n}{\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a})(x_i - a_i)}.

Questo prodotto scalare definisce un iperpiano n-dimensionale tangente al grafico (immerso nell'(n+1)-spazio) della funzione nel punto \mathbf{a}; questo iperpiano (che nel caso n=1 è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad \mathbf{a}, e la funzione approssimante:

 f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})

è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.

Nel caso di funzioni vettoriali \mathbf{f} : \Omega \subseteq \R^n \to \R^m di componenti:

\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), \cdots, f_m(\mathbf{x}))

differenziabili una volta in \Omega aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un \mathbf{a} \in \Omega):

 f_i(\mathbf{x}) \approx f_i(\mathbf{a}) + \nabla f_i(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})

per ogni i da 1 a m; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:

 \mathbf{f}(\mathbf{x}) \approx \mathbf{f}(\mathbf{a}) + \mathbf{J}_{f}(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})

dove:

\mathbf{J}_{f}(\mathbf{a}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a})  \end{bmatrix}

è la matrice jacobiana della funzione \mathbf{f} calcolata nel punto \mathbf{a}, la quale contiene tutti i gradienti delle m componenti di f; naturalmente, se n = m = 1, si ritrova la formula della retta tangente.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare:

 f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)

dove Df(a) è la derivata di Fréchet di f nel punto a.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • (EN) Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
  • (EN) Bock, David; Hockett, Shirley O., How to Prepare for the AP Calculus, Hauppauge, NY, Barrons Educational Series, 2005, p. 118, ISBN 0-7641-2382-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica