Approssimazione lineare

In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta (cioè a una funzione affine, la traslata di una funzione lineare); questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione. Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

Definizione

Funzioni reali di variabile reale

Retta tangente al grafico della funzione nel punto $(a, f(a))$.

Sia $f : E \subseteq \R \to \R$ una funzione reale di variabile reale derivabile in $E$. Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in $a \in E$, arrestato al primo ordine:

$f(x) = f(a) + f^{\prime}(a)(x-a) + o(x-a)$,

dove la notazione o piccolo $o(x-a)$ indica che $\lim_{x\to a}\frac{o(x-a)}{x-a} = 0$, cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come

$f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x-a)$,

che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $a$. Questa è la retta che approssima linearmente $f$ attorno ad $a$, ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

Funzioni di variabile vettoriale

Il piano illustrato approssima linearmente la funzione (a due variabili) attorno al punto di tangenza (in questo caso, il massimo della funzione).

Sia $f : \Omega \subseteq \R^n \to \R$ una funzione reale a $n$ variabili reali $x_1, \cdots, x_n$, differenziabile in $\Omega$ aperto; lo sviluppo al primo ordine di $f$ attorno ad $\mathbf{a} \in \Omega$ si può scrivere:

$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + o(\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \|)$,

dove

$\nabla f(\mathbf{a}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a})\right)$

è il gradiente di $f$ calcolato nel punto $\mathbf{a}$ e

$\nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = \sum_{i=0}^{n}{\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a})a_i}$.

Questo prodotto scalare definisce un iperpiano $n$-dimensionale tangente al grafico (immerso nell'$(n+1)$-spazio) della funzione nel punto $\mathbf{a}$; questo iperpiano (che nel caso $n=1$ è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad $\mathbf{a}$, e la funzione approssimante

$f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})$

è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.

Nel caso di funzioni vettoriali del tipo $\mathbf{f} : \Omega \subseteq \R^n \to \R^m$ di componenti $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), \cdots, f_m(\mathbf{x}))$, differenziabili una volta in $\Omega$ aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un $\mathbf{a} \in \Omega$):

$f_i(\mathbf{x}) \approx f_i(\mathbf{a}) + \nabla f_i(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})$

per ogni $i$ da 1 a $m$; usando la notazione vettoriale, si può scrivere

$\mathbf{f}(\mathbf{x}) \approx \mathbf{f}(\mathbf{a}) + \mathbf{J}_{f}(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})$,

dove

$\mathbf{J}_{f}(\mathbf{a}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \end{bmatrix}$

è la matrice jacobiana della funzione $\mathbf{f}$ calcolata nel punto $\mathbf{a}$, la quale contiene tutti i gradienti delle $m$ componenti di $f$; naturalmente, se $n = m = 1$, si ritrova la formula della retta tangente.

Generalizzazione

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare

$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

dove $Df(a)$ è la derivata di Fréchet di $f$ nel punto $a$.

Voci correlate

• Metodo di Eulero
• Metodo di Newton
• Serie di potenze
• Sviluppo in serie di Taylor

Bibliografia

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III (in inglese), Berlin, Springer-Verlag, 1984, pp. 775. ISBN 0-387-90985-0
• Strang, Gilbert, Calculus (in inglese), Wellesley College, 1991, pp. 94. ISBN 0-9614088-2-0

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