Orbita (matematica)

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bussola Disambiguazione – Se stai cercando l'orbita di un elemento di un insieme sotto un'azione di gruppo, vedi Orbita (teoria dei gruppi).

In geometria differenziale un'orbita è intuitivamente una traiettoria chiusa di un sistema dinamico.

  • Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un flusso \Phi_t che agisce su M allora l'orbita di un punto x_0 è data dall'insieme \{\Phi_t(x_0):t\in \mathbb R\}.
  • Se il sistema dinamico è discreto, cioè è determinato dall'iterazione di una mappa invertibile F:M \to M allora l'orbita di x_0 è costituita dall'insieme \{F^n(x_0):n\in \mathbb Z\}.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Orbite di sistemi di equazioni differenziali in {\mathbb R}^2[modifica | modifica sorgente]

Dato un sistema di equazioni differenziali del seguente tipo:

\left\{\begin{matrix}x'=f(x,y) \\
y'=g(x,y)\end{matrix}\right.

La curva descritta nel piano al variare di t da ogni soluzione x = x(t) e y=y(t) del sistema viene detta traiettoria del sistema.

Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico.

Il sistema descrive il moto di una particella (x,y) la cui velocità (x',y') è data in ogni punto da (f(x,y),g(x,y)). Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Il caso lineare[modifica | modifica sorgente]

Studiamo l'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema: \left\{\begin{matrix}x'=ax+by \\
y'=cx+dy\end{matrix}\right.

derivando la prima equazione e usando la seconda, si ha x''=ax'+ bcx + bdy; dalla prima equazione si ricava by=x' -ax e sostituendo si ottiene x''=(a+d)x'+(bc-ad)x pertanto x(t) è soluzione dell'equazione lineare (per semplificare z=x) z''-(a+d)z'+(ad-bc)z=0. (*) Abbiamo così dimostrato che se x(t), y(t) è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni x(t) e y(t) risolvono l'equazione (*). L'equazione caratteristica di (*) è p(λ) = λ2-(a+d)λ+(ad-bc)=0 e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}, ossia \det(\lambda\,{\rm I} - A).

Dunque le radici \lambda_{1,\,2} = \frac{(a+d)\pm\sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2} sono gli autovalori della matrice A. Quindi il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori.

Distinguiamo i vari casi:

  • Nodo stabile: λ1 , λ2 < 0
  • Nodo instabile: λ1 , λ2 > 0
  • Sella (instabile): (λ1 >0 , λ2 < 0 ) v (λ1 < 0 , λ2 > 0)
  • Centro (stabile): \lambda_{1}, \lambda_{2} = ± β i
  • Fuoco stabile: λ1 , λ2 = α ± β i, α<0
  • Fuoco instabile: λ1 , λ1 = α ± β i, α>0

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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