Problema dei tre corpi

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Il problema dei tre corpi è una classe di problemi della dinamica di base relativi alla meccanica classica. In generale esso consiste nel calcolare, date la posizione iniziale, la massa e la velocità di tre corpi soggetti all'influsso della reciproca attrazione gravitazionale ovvero l'evoluzione futura del sistema da essi costituito.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Si potrebbe pensare in linea di principio che il calcolo possa essere effettuato risolvendo le equazioni differenziali ordinarie derivanti dalle leggi del moto di Isaac Newton, come avviene normalmente in presenza di due corpi; si dimostra tuttavia che la soluzione generale delle equazioni dinamiche di un sistema gravitazionale a tre corpi, che pure esiste, non è scrivibile in alcun modo in una forma esplicita che risulti più semplice delle equazioni originali di partenza.

Soluzioni esplicite si possono trovare soltanto per casi particolari, come esposto nella sezione seguente; soluzioni di tipo approssimato, invece, sono ottenibili introducendo varie semplificazioni. Queste ultime si possono catalogare in due grandi gruppi:

  • soluzioni di tipo numerico (un calcolatore determina per via approssimata l'evoluzione del sistema);
  • soluzioni basate su perturbazioni.

In entrambi i casi, il risultato trovato è valido solo per un determinato lasso di tempo, oltre il quale il risultato diverge dal comportamento del sistema in modo imprevedibile: il sistema è di tipo caotico.

Problema dei tre corpi semplificato[modifica | modifica wikitesto]

Diversi casi pratici di sistemi a tre corpi sono in realtà risolvibili analiticamente, perché facilmente semplificabili: per esempio se la massa di uno degli oggetti è trascurabile (caso dei satelliti artificiali), o se due corpi orbitano circolarmente o ellitticamente intorno a un oggetto centrale (Per esempio, il sistema Sole-Terra-Luna).

Il problema semplificato è stato studiato approfonditamente da molti matematici e fisici famosi, tra cui Joseph-Louis Lagrange nel XVIII secolo, Henri Poincaré verso la fine del XIX secolo e l'italiano Tullio Levi-Civita (vissuto nel XIX-XX secolo).

Il lavoro di Poincaré sul problema dei tre corpi è alla base della teoria del caos deterministico o teoria dei sistemi complessi.

Nel caso di corpi in moto circolare, con un corpo di massa trascurabile, esistono cinque punti di equilibrio su cui può trovarsi il corpo di massa trascurabile. Tali punti sono detti punti Lagrangiani.

Tre di essi giacciono sulla stessa retta dei due corpi maggiori, uno compreso tra essi e due esterni; queste posizioni sono instabili.

Gli altri due punti sono collocati sull'orbita del pianeta di massa minore (tra i due maggiori), uno in anticipo e l'altro in ritardo di 60° rispetto a questi, le rette immaginarie che congiungono i pianeti formano quindi due triangoli equilateri. Per un rapporto sufficientemente elevato tra le masse dei due corpi maggiori, questi ultimi due punti di equilibrio sono stabili e gli oggetti di massa trascurabile situati in questa posizione orbitano stabilmente intorno al corpo maggiore. È il caso di Giove e degli asteroidi troiani orbitanti attorno al Sole.

Un altro caso semplificato è il problema dei tre corpi nella formulazione di Eulero (pubblicato nelle sue memorie del 1760), in cui un corpo è in movimento nel campo prodotto da altre due masse immobili. Il problema è solubile analiticamente ma richiede l'impiego di integrali ellittici.

Nel 1912 il matematico finlandese-svedese Karl Frithiof Sundman sviluppò una serie infinita convergente che offre una soluzione al problema dei tre corpi semplificato[non chiaro]. Sfortunatamente per ottenere una precisione adeguata nei calcoli richiede un numero elevatissimo di termini (nell'ordine di 108.000.000) per cui il metodo è difficilmente praticabile.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]