Sistema tempo-invariante

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Un sistema tempo-invariante, talvolta abbreviato in TIV (dall'acronimo inglese Time-Invariant System), è un sistema dinamico in cui l'uscita non dipende esplicitamente dal tempo. I sistemi tempo-invarianti possono essere descritti matematicamente da sistemi di equazioni autonome.

Se un ingresso x(t) produce l'uscita y(t) allora per ogni ingresso traslato x(t + \delta) si ha un'uscita traslata dello stesso fattore y(t + \delta).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri l'operatore di traslazione \mathbb{T}_r che trasla x = x(t) di un fattore r. Per esempio, se r=1 l'azione di \mathbb{T}_1 è:

\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 x

che fornisce:

\tilde{x}_1 = x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t) \qquad \forall \, t \in \mathbb{R}

Se si rappresenta il sistema attraverso un operatore \mathbb{H}, il sistema è tempo-invariante se \mathbb{H} commuta con l'operatore di traslazione:

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r  \qquad \forall r

In altri termini, il sistema:

y = \mathbb{H} x

è tempo-invariante se applicando prima \mathbb{H} su x:

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} x = \mathbb{T}_r y = y_r

oppure applicando prima \mathbb{T}_r:

\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r x = \mathbb{H} \, x_r

si ottiene il medesimo risultato:

\mathbb{H} x_r = y_r

ovvero l'ordine con cui agiscono i due operatori non cambia la loro azione complessiva.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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