Risposta impulsiva

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Nella teoria dei sistemi, la risposta impulsiva o risposta all'impulso di un sistema dinamico è la sua uscita quando è soggetto ad un ingresso a Delta di Dirac. In generale, descrive nel tempo la reazione di un sistema dinamico ad una perturbazione esterna. La risposta impulsiva di una trasformazione lineare è l'immagine della trasformazione applicata alla Delta, analogamente alla soluzione fondamentale di un operatore differenziale alle derivate parziali.

Si tratta di un concetto di grande importanza perché in un sistema dinamico lineare stazionario (ovvero una vasta porzione dei sistemi dinamici solitamente considerati) la risposta impulsiva ne caratterizza completamente il comportamento ingresso-uscita. Ciò accade poiché la Delta di Dirac è una particolare "funzione" (propriamente una distribuzione) che contiene equamente tutte le frequenze (come mostra la sua trasformata di Fourier), e pertanto rappresenta lo strumento matematico ideale per conoscere la risposta di un sistema dinamico in funzione della frequenza del segnale che gli è posto in ingresso.

La trasformata di Laplace della risposta impulsiva viene detta funzione di trasferimento del sistema.

Sistemi LTI[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare stazionario e Funzione di trasferimento.

L'uscita y(t) di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione:

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau

dove h(t) è la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. L'uscita y è quindi proporzionale alla media dell'ingresso x pesata dalla funzione  h(-\tau), traslata di un tempo t.

Se la funzione h(\tau) è nulla quando \tau < 0 allora y(t) dipende soltanto dai valori assunti da x precedentemente al tempo t, ed il sistema è detto causale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F. Alton Everest, Master Handbook of Acoustics, Fourth ed., McGraw-Hill Professional, 2000, ISBN 0-07-136097-2.
  • (EN) Helmut Lütkepohl, Impulse response function in The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd, 2008.
  • (EN) James D. Hamilton, Difference Equations in Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, p. 5, ISBN 0-691-04289-6.

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