Derivata direzionale

In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine. In geometria differenziale la derivata direzionale è generalizzata ad una varietà differenziabile tramite il concetto di derivata covariante.

Definizione

La derivata direzionale di una funzione scalare $f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ lungo un vettore unitario $\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)$ è la funzione definita dal limite:

$D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{h}}$

Se la funzione $f$ è differenziabile in $\mathbf{x}$, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario $\mathbf{u}$ e si ha:

$D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}$

dove $\nabla$ al secondo membro rappresenta il gradiente, e $\cdot$ il prodotto scalare euclideo. In ogni punto $\mathbf{x}$, la derivata direzionale $D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x})$ rappresenta la variazione di $f$ lungo $\mathbf{u}$, a partire dal punto $\mathbf{x}$.

Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili $f: \Omega \to \mathbb{R}$, con $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ un insieme aperto. Dato un vettore unitario $\mathbf{u}=(u_1, u_2)$, la derivata direzionale di $f\;$ lungo $\mathbf{u}$, nel punto $(x_0, y_0) \in \Omega$, è data da:

$D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h u_1, y_0 + h u_2) - f(x_0,y_0)}{h}$

la derivata esiste se il limite è finito.

Derivata covariante

Per approfondire, vedi Derivata covariante.

Si può estende il concetto di derivata direzionale presente nell'ordinario spazio euclideo ad una varietà differenziabile arbitraria tramite la derivata covariante. Attraverso di essa è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale, o di un più generale campo tensoriale in un punto e lungo una direzione fissata. La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di connessione: su una varietà differenziabile è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. La derivata covariante è un concetto fondamentale in geometria differenziale e in relatività generale, poiché attraverso di essa si definiscono vari tensori che misurano la curvatura di una varietà, come il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci.

Proprietà

Se $f\;$ è una funzione differenziabile in un punto $(x_0,y_0)\;$ allora esistono le sue derivate parziali e la derivata direzionale della funzione rispetto al versore $\mathbf{v}$ nel punto è data dal prodotto scalare tra il gradiente della funzione ed il versore stesso:

$D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0) , \mathbf{v} \rangle = \lVert\nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \cos \theta = \lVert \nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \cos \theta$

con $\theta\;$ l'angolo compreso tra il vettore gradiente e $\mathbf{v}$.

Da questa proprietà segue che:

• La derivata direzionale assume il valore massimo se $\theta = 0$ e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono paralleli e concordi.
• La derivata direzionale è nulla se $\theta = \pi / 2$ o $\theta = 3 \pi / 2$, e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono perpendicolari.
• La derivata direzionale assume il valore minimo se $\theta = \pi\;$, e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono paralleli e discordi.

La derivata direzionale indica intuitivamente la velocità di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data. Essa permette di spiegare, ad esempio, la traiettoria dei ruscelli nelle montagne: il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento lungo una curva di livello, la quale descrive topograficamente il luogo dei punti con la stessa altitudine. I ruscelli seguono pertanto la traiettoria di massima pendenza, che è quella perpendicolare alle curve stesse.

La derivata direzionale calcolata rispetto ad un vettore della base canonica di $\R^n$ coincide proprio con la derivata parziale rispetto a quella componente, infatti:

$D_{\mathbf{e}_i} f(x)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t \mathbf{e}_i) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t (0,\ldots,1,\ldots,0)) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\ldots,x_i +t,\ldots,x_n) - f(x)}{t}$

cioè la definizione di derivata parziale.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471
• (EN) F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, 1976. ISBN 0-13-011189-9
• (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-86153-3

Voci correlate

• Derivata
• Derivata covariante
• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

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