Derivata direzionale

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In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine. In geometria differenziale la derivata direzionale è generalizzata ad una varietà differenziabile tramite il concetto di derivata covariante.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La derivata direzionale di una funzione scalare f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) lungo un vettore unitario \mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n) è definita dal limite:

D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}

In ogni punto \mathbf{x}, la derivata direzionale D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) rappresenta la variazione di f lungo \mathbf{v}.

Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili f: \Omega \to \mathbb{R}, con \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 un insieme aperto. Dato un vettore unitario \mathbf{v}=(v_1, v_2), la derivata direzionale di f\; lungo \mathbf{v}, nel punto (x_0, y_0) \in \Omega, è data da:

D_{\mathbf{v}} f(x_0,y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h v_1, y_0 + h v_2) - f(x_0,y_0)}{h}

ed esiste se il limite è finito.

Se la funzione f è differenziabile in \mathbf{x}, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario \mathbf{v} e si ha:[1]

D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}

dove \nabla al secondo membro rappresenta il gradiente, e \cdot il prodotto scalare euclideo.

Nello specifico, in (x_0,y_0) il prodotto scalare è dato da:

D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0) , \mathbf{v} \rangle = \lVert\nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert \ \cdot \ \cos \theta = \lVert \nabla f(x_0,y_0) \rVert \ \cdot \ \cos \theta

con \theta l'angolo compreso tra il vettore gradiente e \mathbf{v}. La derivata direzionale assume il valore massimo se \theta = 0 (il gradiente e \mathbf{v} sono paralleli e concordi), è nulla se \theta = \pi / 2 o \theta = 3 \pi / 2 (il gradiente e \mathbf{v} sono perpendicolari) mentre assume il valore minimo se \theta = \pi (il gradiente e \mathbf{v} sono paralleli e discordi).

Se calcolata rispetto ad un vettore della base canonica di \R^n, essa coincide con la derivata parziale rispetto a quella componente. Infatti:

D_{\mathbf{e}_i} f(x)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t \mathbf{e}_i) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t (0,\ldots,1,\ldots,0)) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\ldots,x_i +t,\ldots,x_n) - f(x)}{t}

cioè la definizione di derivata parziale.

La derivata direzionale indica intuitivamente la velocità di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data. Essa permette di dedurre, ad esempio, la traiettoria dei ruscelli nelle montagne: lungo una curva di livello, la quale descrive topograficamente il luogo dei punti con la stessa altitudine, il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento. I ruscelli seguono pertanto la traiettoria di massima pendenza, che è quella perpendicolare alle curve stesse.

Geometria differenziale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Generalizzazioni della derivata e Derivata covariante.

Si può estendere il concetto di derivata direzionale presente nell'ordinario spazio euclideo ad una varietà differenziabile arbitraria tramite la derivata covariante, che consente di calcolare la derivata di un campo vettoriale, o di un più generale campo tensoriale, in un punto della varietà lungo una direzione fissata.

Sia M una varietà differenziabile e \bold{p} un punto di M. Sia inoltre f una funzione definita in un intorno di \bold{p} e differenziabile in \bold{p}. Se \bold{v} è un vettore tangente M in \bold{p} e \gamma : [-1 , 1] \to M è una curva differenziabile tale che \gamma(0) = \bold{p} e \gamma'(0) = \bold{v}, allora la derivata direzionale di f nella direzione \bold{v}, spesso denotata con \nabla_{\bold{v}} f(\bold{p}), è definita come:

\nabla_{\bold{v}} f(\bold{p}) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}

Tale relazione è il punto di partenza anche per le definizioni di derivata di Lie e derivata esterna, centrali in geometria differenziale e topologia differenziale.

La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di connessione: su una varietà differenziabile è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. Attraverso di essa, in fisica, si definiscono vari tensori che misurano la curvatura di una varietà, come il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci.

Meccanica del continuo[modifica | modifica sorgente]

Molti importanti risultati della meccanica del continuo sono espressi tramite il concetto di derivata di vettori rispetto a vettori, e di tensori rispetto a vettori e tensori.[2]

Funzione scalare di vettori[modifica | modifica sorgente]

Sia f(\mathbf{v}) una funzione reale di \mathbf{v}. La derivata di f(\mathbf{v}) rispetto a \mathbf{v} (o in \mathbf{v}) nella direzione \mathbf{u} è definita come:


  \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha = 0} \qquad \forall \mathbf{u}

e gode delle seguenti proprietà:

  • Se f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v}) + f_2(\mathbf{v}) allora:
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u}
  • Se f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v})~ f_2(\mathbf{v}) allora:
 \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)~f_2(\mathbf{v}) + f_1(\mathbf{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)
  • Se f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v})) allora:
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}

Funzione vettoriale di vettori[modifica | modifica sorgente]

Sia \mathbf{f}(\mathbf{v}) una funzione vettoriale di \mathbf{v}. Allora la derivata di \mathbf{f}(\mathbf{v}) rispetto a \mathbf{v} (o in \mathbf{v}) nella direzione \mathbf{u} è il vettore:

  \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha = 0} \qquad \forall \mathbf{u}

e gode delle seguenti proprietà:

  • Se \mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_2(\mathbf{v}) allora:
 \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u}
  • Se \mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) allora:
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)
  • Se \mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v})) allora:
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} =  \frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)

Funzione scalare di tensori di ordine 2[modifica | modifica sorgente]

Sia f(\boldsymbol{S}) una funzione reale di un tensore del secondo ordine \boldsymbol{S}. Allora la derivata di f(\boldsymbol{S}) rispetto a \boldsymbol{S} (o in \boldsymbol{S}) nella direzione \boldsymbol{T} è il tensore del secondo ordine:

  \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = Df(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\boldsymbol{S} + \alpha\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}

per ogni tensore del secondo ordine \boldsymbol{T}, e gode delle seguenti proprietà:

  • Se f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S}) allora:
 \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T}
  • Se f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S}) allora:
 \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right)
  • Se f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S})) allora  \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right)

Funzione tensoriale di tensori di ordine 2[modifica | modifica sorgente]

Sia \boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) una funzione che mappa tensori del secondo ordine \boldsymbol{S} in tensori del secondo ordine. Allora la derivata di \boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) rispetto a \boldsymbol{S} (o in \boldsymbol{S}) nella direzione \boldsymbol{T} è il tensore del quarto ordine:

  \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] 
     = \left[\frac{d }{d \alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}

per ogni tensore del secondo ordine \boldsymbol{T}, e gode delle seguenti proprietà:

  • Se \boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) allora:
 \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T}
  • Se \boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) allora:
 \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right)
  • Se \boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})) allora:
 \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right)
  • Se f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})) allora:
 \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} =  \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 219
  2. ^ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471.
  • (EN) F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, 1976. ISBN 0-13-011189-9.
  • (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-86153-3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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