Derivata direzionale

In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine.

Definizione

La derivata direzionale di una funzione scalare:

$f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

lungo un vettore unitario:

$\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)$

è la funzione definita dal limite:

$D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{h}}$

Se la funzione $f$ è differenziabile in $\mathbf{x}$, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario $\mathbf{u},$ e si ha:

$D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}$

dove $\nabla$ al secondo membro rappresenta il gradiente e $\cdot$ il prodotto scalare euclideo. In ogni punto $\mathbf{x}$ la derivata direzionale di $f$ rappresenta la variazione di $f$ lungo $\mathbf{u}$ nel punto $\mathbf{x}$.

Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili $f: \Omega \to \mathbb{R}$, con $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ un insieme aperto. Dato un vettore unitario $\mathbf{u}=(u_1, u_2)$, la derivata direzionale rispetto a $\mathbf{u}$ di $f\;$ nel punto $(x_0, y_0) \in \Omega$ è data da:

$D_{\mathbf{v}} f(x_0,y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t u_1, y_0 + t u_2) - f(x_0,y_0)}{t}$

la derivata esiste se il limite è finito.

Proprietà e applicazioni pratiche

Se $f\;$ è una funzione differenziabile in un punto $(x_0,y_0)\;$ allora esistono le sue derivate parziali e la derivata direzionale della funzione rispetto al versore $\mathbf{v}$ nel punto è data dal prodotto scalare tra il gradiente della funzione ed il versore stesso:

$D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0) , \mathbf{v} \rangle = \lVert\nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \cos \theta = \lVert \nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \cos \theta$

con $\theta\;$ angolo compreso tra il vettore gradiente e $\mathbf{v}$.

Da questa proprietà segue che:

• La derivata direzionale assume il valore massimo se $\theta = 0\,\!$ e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono paralleli e concordi.
• La derivata direzionale è nulla se $\theta = \frac{\pi}{2} \ \mbox{o}\, \frac{3 \pi}{2}$, e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono perpendicolari.
• La derivata direzionale assume il valore minimo se $\theta = \pi\;$, e quindi il gradiente e $\mathbf{v}$ sono paralleli e discordi.

La derivata direzionale indica intuitivamente la velocità di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data. Essa permette di spiegare, ad esempio, la traiettoria dei ruscelli nelle montagne: il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento lungo una curva di livello, la quale descrive topograficamente il luogo dei punti con la stessa altitudine. I ruscelli seguono pertanto la traiettoria di massima pendenza, che è quella perpendicolare alle curve stesse.

La derivata direzionale calcolata rispetto ad un vettore della base canonica di $\R^n\,\!$ coincide proprio con la derivata parziale rispetto a quella componente, infatti:

$D_{\mathbf{e}_i} f(x)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t \mathbf{e}_i) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t (0,\ldots,1,\ldots,0)) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\ldots,x_i +t,\ldots,x_n) - f(x)}{t}$

cioè la definizione di derivata parziale.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Derivata
• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

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