Paradosso dei gemelli

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Diagramma del paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra rivelare una contraddizione nella teoria della relatività ristretta. L'analisi che porta a tale conclusione è però scorretta: un'analisi corretta mostra che non vi è alcuna contraddizione.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Principale sostenitore della questione fu Herbert Dingle, filosofo inglese. Pur avendo ricevuto numerose confutazioni logiche da Einstein e Born, egli continuò a scrivere ai giornali, e quando questi ultimi cominciarono a rifiutare le pubblicazioni, parlò di un complotto ai suoi danni.

Risolvendo il paradosso dei gemelli, Einstein ammise la possibilità teorica di un viaggio nel futuro, ferma restando l'impossibilità di superare la velocità della luce. La prima costruzione teorica per la quale risultava possibile un viaggio nel passato, fu elaborata più tardi dallo stesso Einstein insieme a Nathan Rosen.

Enunciato del paradosso[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un'astronave che parta dalla Terra nell'anno 3000; che mantenendo una velocità costante v raggiunga la stella Wolf 359, distante 8 anni luce dal nostro pianeta; e che appena arrivata, inverta la rotta e ritorni sulla Terra, sempre a velocità v. Di una coppia di fratelli gemelli, l'uno salga sull'astronave, mentre l'altro rimanga a Terra.

Volutamente, nei calcoli trascuriamo per semplicità l'accelerazione e la decelerazione della navetta, anche se, per portarsi a velocità relativistiche in tempi brevi, occorrerebbero accelerazioni insostenibili per l'uomo e per la nave.

Supponiamo che v sia di 240.000 km/s, cioè v = 0,8 c. Per questa velocità si ha:

1/\gamma = \sqrt{1- \frac {v^2}{c^2}} = 0,6

per cui, secondo la teoria della relatività ristretta, nel sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete. Quindi:

  • Nel sistema di riferimento della Terra l'astronave percorre 8 anni luce in 10 anni, sia durante il viaggio di andata, che durante il viaggio di ritorno: essa quindi arriva nell'anno terrestre 3020. Sull'astronave, però, il tempo scorre al 60% rispetto alla Terra, quindi l'orologio dell'astronauta avanza 6 anni all'andata e altrettanti durante il ritorno: all'arrivo il calendario dell'astronave segna l'anno 3012. Il fratello rimasto sulla Terra è perciò, dopo il viaggio, otto anni più vecchio del suo gemello.
  • Nei sistemi di riferimento dell'astronave (andata e ritorno), dove il sistema Terra-stella si muove a 0,8 c, per effetto della contrazione relativistica delle lunghezze la distanza fra la Terra e Wolf 359 si accorcia al 60%, misura cioè 4,8 anni luce: a 0,8 c questa distanza viene percorsa in 6 anni durante l'andata e 6 durante il ritorno per un totale di 12 anni di viaggio, coerentemente con quanto calcolato nel sistema di riferimento della Terra. Ma chi immagina l'esperienza dei due gemelli esattamente equivalente, adesso si chiede perché non sia l'orologio della Terra a muoversi al 60% del tempo dell'astronave visto che il sistema Terra appare muoversi a 0,8 c vedendolo dall'interno dell'astronave. Se così fosse, quando l'astronave fa ritorno sulla Terra, dovrebbero essere trascorsi solo 7,2 anni (60% di 12 anni) e quindi non dovrebbe essere l'anno 3020, ma il 3007,2 e il fratello a bordo dell'astronave dovrebbe essere 4,8 anni più vecchio del gemello sedentario. Si giunge alla conclusione che ammettere che un sistema di riferimento sia corretto implica che l'altro sia scorretto.

Soluzione (nella relatività speciale)[modifica | modifica wikitesto]

Diagramma di Minkowski


L'apparente contraddizione si risolve osservando che, mentre quello della Terra è un sistema di riferimento inerziale, l'astronave, in prossimità della stella, subisce una decelerazione-accelerazione per poter invertire la rotta, perciò andata e ritorno appartengono a due sistemi di riferimento inerziale diversi tra loro.

Si devono quindi considerare tre sistemi di riferimento inerziale: quello della Terra, quello dell'astronave nel viaggio di andata, che si muove rispetto alla Terra a velocità v, e quello dell'astronave nel viaggio di ritorno, che si muove rispetto alla Terra a velocità -v (cioè v nella direzione opposta). Trascuriamo i tempi di accelerazione/decelerazione, che per velocità così elevate sarebbero comunque significativi.

Nella figura è tracciato il diagramma di Minkowski per questi tre sistemi di riferimento (disegnati rispettivamente in nero, blu e rosso). I tre eventi indicati con le lettere A, B, C sono rispettivamente:

  • la partenza dell'astronave dalla Terra
  • l'arrivo dell'astronave a Wolf 359 e sua ripartenza
  • il ritorno dell'astronave sulla Terra

I tre sistemi di riferimento non sono in accordo su quale sia, sulla Terra, l'evento simultaneo all'evento B. Nel sistema di riferimento della Terra esso è l'evento D, cioè il momento in cui gli orologi terrestri segnano l'anno 3010. Nel sistema del viaggio d'andata è l'evento D’, cioè il momento in cui gli orologi terrestri segnano l'anno 3003,6. Nel sistema del viaggio di ritorno è l'evento D’’, cioè il momento in cui gli orologi terrestri segnano l'anno 3016,4 (relatività della simultaneità). Durante il viaggio, mentre l'astronave è in moto relativo, il gemello astronauta può ritenersi fermo e considerare la Terra in moto a 0,8 c oppure a -0,8 c. In entrambi i casi gli orologi terrestri devono essere rallentati del relativo valore gamma, e per avanzare di 20 anni ne devono trascorrere (20 / 0.6) 33,333.

Analisi dettagliata[modifica | modifica wikitesto]

Diagramma di Minkowski

Indicando con x, t le coordinate spaziale e temporale nel sistema di riferimento della Terra; con x’, t’ quelle nel sistema di riferimento dell'astronave nel viaggio di andata; e con x’’, t’’ quelle nel viaggio di ritorno, valgono le trasformazioni di Lorentz:

(1) \quad x' = \gamma \left( x - vt \right) \qquad\qquad (2) \quad t' = \gamma \left( t - \frac {vx}{c^2} \right)
(3) \quad x'' = \gamma \left( x - x_0 + vt \right) \qquad (4) \quad t'' = \gamma \left( t + \frac {v (x - x_0)}{c^2} \right)

dove il termine x_0 appare nelle equazioni (3) e (4) in quanto i due sistemi di riferimento non hanno la stessa origine. Usando l'anno come unità di tempo e l'anno luce come unità di lunghezza, le costanti numeriche hanno i seguenti valori: v = 0.8, c = 1, x_0 = 16 (quest'ultimo valore è scelto in modo da avere x’’ = 0 per l'astronave nel viaggio di ritorno).

Nel sistema di riferimento della Terra, le coordinate (x, t) degli eventi A, B, C, D sono rispettivamente: (0, 0), (8, 10), (0, 20), (0, 10). Le coordinate dell'evento D’ si possono calcolare in quanto detto evento avviene sulla Terra, per cui x=0, e simultaneamente a B nel sistema di riferimento del viaggio di andata, per cui t’=6: sostituendo tali valori nell'equazione (2) si ottiene t=3.6. Analogamente, le coordinate di D’’ si ottengono imponendo x=0 e t’’=6: dall'equazione (4) si ricava t=16.4.

Gli intervalli di tempo tra questi eventi, secondo l'orologio della Terra, sono quindi i seguenti: A-D’ = 3.6 anni, D’-D = 6.4 anni, D-D’’ = 6.4 anni, D’’-C = 3.6 anni (totale 20 anni).

Ora, applicando le trasformazioni (1) e (2), possiamo calcolare le coordinate di questi eventi nel sistema di riferimento dell'andata: A = (0, 0), B = (0, 6), C = (-26.6667, 33.3333), D = (-13.3333, 16.6667), D’ = (-4.8, 6), D’’ = (-21.8667, 27.3333). Come si può vedere, in questo sistema di riferimento D non è simultaneo a B, mentre lo è D’.

Gli intervalli di tempo sono quindi: A-D’ = 6 anni, D’-D = 10.6667 anni, D-D’’ = 10.6667 anni, D’’-C = 6 anni (totale 33.3333 anni). Ma l'orologio sulla Terra, in questo sistema di riferimento, va al 60% del tempo sull'astronave. Esso quindi misura: A-D’ = 3.6 anni, D’-D = 6.4 anni, D-D’’ = 6.4 anni, D’’-C = 3.6 anni (totale 20 anni), esattamente come si era calcolato in precedenza.

Allo stesso modo, applicando le trasformazioni (3) e (4), le coordinate nel sistema di riferimento del ritorno sono: A = (-26.6667, -21.3333), B = (0, 6), C = (0, 12), D = (-13.3333, -4.6667), D’ = (-21.8667, -15.3333), D’’ = (-4.8, 6). Gli intervalli di tempo sono: A-D’ = 6 anni, D’-D = 10.6667 anni, D-D’’ = 10.6667 anni, D’’-C = 6 anni (totale 33.3333 anni); e secondo l'orologio sulla Terra: A-D’ = 3.6 anni, D’-D = 6.4 anni, D-D’’ = 6.4 anni, D’’-C = 3.6 anni (totale 20 anni).

In tutti e tre i sistemi di riferimento, quindi, si ottiene lo stesso risultato: durante il viaggio, sulla Terra trascorrono 20 anni.

Cosa vede l'astronauta[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni, per spiegare il paradosso dei gemelli, sostengono che per l'astronauta, nel viaggio di andata, l'orologio della Terra va più lentamente, ma nel viaggio di ritorno va più velocemente, e in questo modo "recupera" il tempo perso e si avvantaggia. Questo è vero soltanto da un certo punto di vista.

Come spiegato sopra, sia nel viaggio di andata che in quello di ritorno, l'astronauta calcola che l'orologio della Terra va al 60% del tempo del suo. Tuttavia, quello che l'astronauta calcola è differente da quello che vede. Nel secondo caso, infatti, occorre considerare anche il tragitto che la luce compie dalla Terra all'astronave.

Infatti, quando l'astronauta raggiunge Wolf 359, per il suo orologio sono trascorsi 6 anni, ed egli calcola che sulla Terra siano trascorsi 3.6 anni; ma in quel momento, egli viene raggiunto dalla luce partita dalla Terra solo due anni dopo di lui, secondo l'orologio della Terra, o 1.2 anni dopo secondo il suo (infatti, nel sistema di riferimento della Terra, l'astronave impiega 10 anni per percorrere 8 anni luce, mentre la luce ne impiega 8; nel sistema dell'astronauta la distanza si contrae a 4.8 anni luce, e i tempi si riducono in proporzione). Perciò l'astronauta vede l'orologio sulla Terra andare non al 60% del suo, ma 3 volte più lento, cioè al 33.3333%.

Questo ulteriore rallentamento non è un effetto relativistico, ma lo si osserverebbe anche se valesse la sola fisica classica (seppur la sua entità risulterebbe diversa). Per una trattazione di questo fenomeno si veda l'articolo effetto Doppler relativistico.

Nel viaggio di ritorno, l'astronauta va incontro alla luce proveniente dalla Terra, invece di allontanarsene: l'effetto è quindi opposto, per cui egli vede l'orologio della Terra andare più rapido. Precisamente, nei 6 anni (secondo il suo orologio) del viaggio di ritorno, egli vede trascorrere 18 anni sulla Terra (dal 3002 al 3020), per cui vede l'orologio della Terra andare 3 volte più rapido del suo. In questo senso, l'affermazione riportata sopra è vera.

Allo stesso modo, l'osservatore sulla Terra vede l'orologio sull'astronave andare 3 volte più lento del suo nel viaggio di andata, e 3 volte più veloce nel viaggio di ritorno; ma al contrario dell'astronauta, egli vede il viaggio di andata durare 18 anni e quello di ritorno solo 2 (in entrambi i casi l'orologio dell'astronave misura 6 anni), perché la luce emessa da Wolf 359 nell'anno 3010 raggiunge la Terra soltanto nel 3018.

Soluzione (nella relatività generale)[modifica | modifica wikitesto]

Nella teoria della relatività generale, tutti i sistemi di riferimento, non solo quelli inerziali, sono ugualmente validi. La situazione, a prima vista, appare quindi simmetrica: non sembra esservi una ragione per cui l'orologio della Terra debba andare più veloce di quello dell'astronave, e non il contrario.

A ben guardare, però, una differenza esiste: un osservatore sull'astronave, nel momento in cui essa inverte la rotta, avverte un'accelerazione. Nel sistema di riferimento della Terra, si tratta dell'accelerazione che l'astronave sperimenta nel mutare la sua velocità da v a -v; nel sistema di riferimento dell'astronave, essa viene avvertita come un'accelerazione di gravità.

Ora, la relatività generale prevede che quanto più intensa è l'accelerazione che un osservatore avverte, tanto più il suo orologio rallenta (red-shift gravitazionale). Durante la fase di accelerazione, quindi, l'osservatore sull'astronave vede l'orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo: si può calcolare che in questo tratto l'osservatore "recupera" il tempo perso nei tratti di moto uniforme, e il tempo totale corrisponde a quello calcolato nell'altro sistema di riferimento.

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