Armoniche sferiche

Dalla'alto verso il basso: da l=0 a 4
Da sinistra a destra: da m=0 a ±4 (armoniche non immaginarie)
Le due armoniche sferiche non immaginarie che sono combinazioni lineari di Y_l,m e Y_l,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z.

In matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782. Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84.

Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari $\vartheta$ e φ.

Le armoniche sferiche sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.

Definizione

Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo posto l intero positivo) e sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre che sono ottenibili per m = 0. Tali soluzioni hanno la forma:

$P^m_l(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^mP_l(x)}{dx^m}$

dove P_l(x) sono appunto i Polinomi di Legendre. In particolare si definiscono armoniche Sferiche o funzioni Sferiche le funzioni

$Y^m_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m} \left\{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-\mid m \mid)!}{(l+\mid m \mid)!}\right\}^{\frac{1}{2}} P^{\mid m \mid}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}$

con la condizione $\mid m \mid\leq l$

Proprietà delle armoniche sferiche

Sia $\hat n$ un versore, quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate (θ,φ)

• Complesso coniugato

$\left[Y_l^m( \hat n)\right]^\star = (-1)^m Y_l^{-m}(\hat n)$

• Parità totale

Sotto inversione di tutte le coordinate $x\to -x, y\to -y, z\to -z$ ovvero $\theta\to \pi-\theta, \varphi\to\varphi+\pi$ le armoniche sferiche sono dispari o pari a seconda di l:

$P Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\pi-\theta, \varphi+\pi)=(-1)^l Y_l^m(\theta,\varphi)$

• Parità nel piano xy

Sotto inversione delle sole coordinate x,y le armoniche sferiche sono pari o dispari a seconda di m:

$P_{xy} Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\theta, \varphi+\pi)=(-1)^m Y_l^m(\theta,\varphi)$

• Parità lungo z

Sotto inversione della sola z, $z\to -z$:

$P_z Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\pi-\theta, \varphi)=(-1)^{l+m} Y_l^m(\theta,\varphi)$

poiché $P_z=P\,P_{xy}$

Armoniche sferiche e Armoniche cilindriche

Le armoniche sferiche sono legate alle armoniche cilindriche ordinarie J_α eY_α dalle:

$j_\alpha(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\alpha+1/2}(x),$

$y_\alpha(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{\alpha+1/2}(x) = (-1)^{\alpha+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-\alpha-1/2}(x).$

In effetti sono definibili anche le corrispondenti funzioni di Hankel sferiche:

$h_\alpha^{(1)}(x) = j_\alpha(x) + i y_\alpha(x)$

$h_\alpha^{(2)}(x) = j_\alpha(x) - i y_\alpha(x)$

Le prime armoniche sferiche

Per approfondire, vedi la voce Tavola delle armoniche sferiche.

Le prime armoniche sferiche sono:

Armoniche sferiche con l = 0

$Y_{0}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}$

Armoniche sferiche con l = 1

$Y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r}$

$Y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}$

$Y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}$

Armoniche sferiche con l = 2

$Y_{2}^{-2}(x)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\quad={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x^{2}-2ixy-y^{2})\over r^{2}}$

$Y_{2}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(xz-iyz)\over r^{2}}$

$Y_{2}^{0}(x)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)\quad={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2})\over r^{2}}$

$Y_{2}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(xz+iyz)\over r^{2}}$

$Y_{2}^{2}(x)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\quad={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x^{2}+2ixy-y^{2})\over r^{2}}$

Meccanica quantistica

Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale L² e della sua componente lungo z:

$Y_{l,m}( \theta, \varphi) \equiv \langle \theta, \varphi | l,m \rangle$

E si ha:

$L^2 Y_l^m = {l(l+1)}\hslash^2 Y_l^m$

$L_z Y_l^m = m\hslash Y_l^m$

Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di L:

$\nabla^2_\Omega = \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}=-\frac{1}{\hslash^2 r^2} L^2$

possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto:

[H,L] = 0

Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici del momento angolare orbitale "l" e "m" si trovi in una posizione la cui direzione è definita dai valori di θ,φ, angoli delle coordinate sferiche.

Voci correlate

• Tavola delle armoniche sferiche
• Armoniche cilindriche
• Armoniche di Riccati

Altri progetti

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• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Armoniche sferiche

Collegamenti esterni

• Trattazione analitica
• Trattazione analitica

Bibliografia

• Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22)
• Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
• Isaac Todhunter An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions (MacMillan, London, 1877)
• Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
• William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893)
• Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
• Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)

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