Armoniche sferiche

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Dall'alto verso il basso: da l=0 a 4
Da sinistra a destra: da m=0 a ±4 (armoniche non immaginarie)
Le due armoniche sferiche non immaginarie che sono combinazioni lineari di yl,m e yl,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z.

In analisi matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782.[1] Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84.

Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari \vartheta e \varphi.

Le armoniche sferiche sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo posto  l intero positivo) e sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre che sono ottenibili per  m=0 . Tali soluzioni hanno la forma:

P^m_l(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^mP_l(x)}{dx^m}

dove  P_l(x) sono appunto i Polinomi di Legendre. In particolare si definiscono armoniche Sferiche o funzioni Sferiche le funzioni

 y^m_l (\theta,\varphi)= {(-1)^\frac{m+|m|}{2}} \left\{\frac{2l+1}{4\pi}
\frac{(l-\mid m \mid)!}{(l+\mid m \mid)!}\right\}^{\frac{1}{2}}
P^{\mid m \mid}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}

con la condizione  \mid  m \mid\leq l

Le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane, assumono la forma di polinomi complessi omogenei di grado l

Proprietà delle armoniche sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Sia  \hat n un versore, quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate (\theta,\varphi)

\left[y_l^m( \hat n)\right]^\star = (-1)^m y_l^{-m}(\hat n)

Sotto inversione di tutte le coordinate x\to -x, y\to -y, z\to -z ovvero \theta\to \pi-\theta, \varphi\to\varphi+\pi le armoniche sferiche sono dispari o pari a seconda di l:

P y_l^m(\theta,\varphi)=y_l^m(\pi-\theta, \varphi+\pi)=(-1)^l y_l^m(\theta,\varphi)

Sotto inversione delle sole coordinate x,y le armoniche sferiche sono pari o dispari a seconda di m:

P_{xy} y_l^m(\theta,\varphi)=y_l^m(\theta, \varphi+\pi)=(-1)^m y_l^m(\theta,\varphi)

Sotto inversione della sola z, z\to -z:

P_z  y_l^m(\theta,\varphi)=y_l^m(\pi-\theta, \varphi)=(-1)^{l+m} y_l^m(\theta,\varphi)

poiché P_z=P\,P_{xy}

Armoniche sferiche e Armoniche cilindriche[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni di Bessel sono legate alle funzioni di Bessel cilindriche Jα:

j_\alpha(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\alpha+1/2}(x),

Le funzioni di Neumann sono legate alle funzioni di Neumann cilindriche yα:

y_\alpha(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} y_{\alpha+1/2}(x) = (-1)^{\alpha+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-\alpha-1/2}(x).

Le funzioni di Hankel sono definite in modo analogo alle funzioni di Hankel cilindriche Hα:

h_\alpha^{(1)}(x) = j_\alpha(x) + i y_\alpha(x)
h_\alpha^{(2)}(x) = j_\alpha(x) - i y_\alpha(x)

Le prime armoniche sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tavola delle armoniche sferiche.

Le prime armoniche sferiche sono:

Armoniche sferiche con l = 0[modifica | modifica wikitesto]

y_{0}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}

Armoniche sferiche con l = 1[modifica | modifica wikitesto]

y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r}
y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}
y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}

Armoniche sferiche con l = 2[modifica | modifica wikitesto]

y_{2}^{-2}(x)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\quad={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x^{2}-2ixy-y^{2})\over r^{2}}
y_{2}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(xz-iyz)\over r^{2}}
y_{2}^{0}(x)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)\quad={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2})\over r^{2}}
y_{2}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(xz+iyz)\over r^{2}}
y_{2}^{2}(x)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\quad={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x^{2}+2ixy-y^{2})\over r^{2}}

Meccanica quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale L^2 e della sua componente lungo z:

y_{l,m}( \theta, \varphi) \equiv \langle \theta, \varphi | l,m \rangle

E si ha:

L^2 y_l^m = {l(l+1)}\hslash^2 y_l^m
L_z y_l^m = m\hslash y_l^m

Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di L:

\nabla^2_\Omega = \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}=-\frac{1}{\hslash^2 r^2} L^2

possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto:

 [H,L] = 0

Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici del momento angolare orbitale "l" e "m" si trovi in una posizione la cui direzione è definita dai valori di \theta,\varphi, angoli delle coordinate sferiche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Un resoconto storico può essere trovato in T.M. MacRobert, Capitolo IV in Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press, 1967.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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