Funzione associata di Legendre

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I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai Polinomi di Legendre, il cui utilizzo è particolarmente utile nella descrizione delle Armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in Meccanica quantistica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia l un intero naturale, P_l(u) il polinomio di Legendre di ordine  l ed m un intero compreso tra 0 ed l. Si definiscono le funzioni associate di Legendre come:

P_{lm} (u) = (1-u^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{du^m} P_l (u)

ovvero

P_{lm} (u) =\frac{(-1)^l}{2^l l!}  (1-u^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{l+m}}{du^{l+m}}(1-u^2)^l


Si estende la definizione a valori negativi del secondo indice tramite l'espressione


P_{l,-m} (u) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_{lm} (u)

che conduce a

P_{lm} (u)= (-1)^{l+m}  \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{(1 - u^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^l l!} \frac{d^{l-m}}{du^{l-m}} (1 - u^2)^l


Queste definizioni permettono poi di esprimere le armoniche sferiche in funzione delle funzioni associate tramite la relazione


 Y^m_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m} \left\{\frac{2l+1}{4\pi}
\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right\}^{\frac{1}{2}}
P^{m}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}


per valori positivi di m. Le armoniche sferiche con valori di m negativi sono tutte a coefficiente positivo (senza considerare quindi il comportamento del Polinomio di Legendre e della funzione esponenziale) e si ottengono dalla seguente relazione


 Y^{-m}_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m}(Y^m_l (\theta,\varphi))^*


Ne consegue quindi che per valori di m negativi le armoniche sferiche sono identiche alle stesse con m positivi fuorché in alcuni aspetti:

1) il segno del coefficiente è sempre positivo, anziché a segni alterni, poiché il termine (-1)^m nell'armonica sferica moltiplica lo stesso (-1)^m presente nella relazione sopra;

2) la funzione esponenziale ha il segno dell'esponente invertito, perché si richiede il complesso coniugato dell'armonica sferica. Ciò non grava sul polinomio di Legendre perché esso è a variabile reale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]