Funzione associata di Legendre

I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai Polinomi di Legendre, il cui utilizzo è particolarmente utile nella descrizione delle Armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in Meccanica quantistica.

Definizione

Sia l un intero naturale, $P_l(u)$ il polinomio di Legendre di ordine $l$ ed m un intero compreso tra 0 ed l. Si definiscono le funzioni associate di Legendre come:

$P_{lm} (u) = (1-u^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{du^m} P_l (u)$

ovvero

$P_{lm} (u) =\frac{(-1)^l}{2^l l!} (1-u^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{l+m}}{du^{l+m}}(1-u^2)^l$

Si estende la definizione a valori negativi del secondo indice tramite l'espressione

$P_{l,-m} (u) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_{lm} (u)$

che conduce a

$P_{lm} (u)= (-1)^{l+m} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{(1 - u^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^l l!} \frac{d^{l-m}}{du^{l-m}} (1 - u^2)^l$

Queste definizioni permettono poi di esprimere le armoniche sferiche in funzione delle funzioni associate tramite la relazione

$Y^m_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m} \left\{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right\}^{\frac{1}{2}} P^{m}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}$

per valori positivi di m. Le armoniche sferiche con valori di m negativi sono tutte a coefficiente positivo (senza considerare quindi il comportamento del Polinomio di Legendre e della funzione esponenziale) e si ottengono dalla seguente relazione

$Y^{-m}_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m}(Y^m_l (\theta,\varphi))^*$

Ne consegue quindi che per valori di m negativi le armoniche sferiche sono identiche alle stesse con m positivi fuorché in alcuni aspetti:

1) il segno del coefficiente è sempre positivo, anziché a segni alterni, poiché il termine (-1)^m nell'armonica sferica moltiplica lo stesso (-1)^m presente nella relazione sopra;

2) la funzione esponenziale ha il segno dell'esponente invertito, perché si richiede il complesso coniugato dell'armonica sferica. Ciò non grava sul polinomio di Legendre perché esso è a variabile reale.

Voci correlate

• Polinomi di Legendre
• Armoniche sferiche
• Meccanica Quantistica

Collegamenti esterni

• Legendre Polynomial in MathWorld