Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica

In analisi matematica, una equazione differenziale alle derivate parziali ellittica è un'equazione differenziale alle derivate parziali tale per cui i coefficienti delle derivate di grado massimo sono positivi. Si tratta dell'applicazione di un operatore ellittico, un operatore differenziale definito su uno spazi di funzioni che generalizza l'operatore di Laplace.

Definizione

Un operatore differenziale lineare $L$ di ordine $m$ su un dominio $\Omega \subset \R^n$:

$Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u\,$

è detto operatore ellittico se per ogni $\vec x \in \R^d$ non nullo si ha:

$\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\vec x^\alpha \neq 0 \qquad \forall x \in \Omega m\in \N$

In molte applicazioni si richiede un requisito più stringente, la condizione di ellitticità uniforme, che si applica per operatori di grado pari:

$(-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \vec x^\alpha > C |\vec x|^{2k},\quad k\in \N$

dove $C$ è una costante positiva. Si nota che l'ellitticità dipende solo dai termini di grado massimo.

Un operatore non lineare:

$L(u) = F(x, u, (\partial^\alpha u)_{|\alpha| \le 2k})\,$

è ellittico se il suo sviluppo al primo ordine in serie di Taylor rispetto ad $u$ (e le sue derivate) è un operatore lineare ellittico.

In generale, sia $D$ un operatore differenziale generico (non lineare) definito su un fibrato vettoriale. Rimpiazzando le derivate covarianti con una nuova variabile si ottiene il simbolo $\sigma_\vec x(D)$ dell'operatore rispetto alla 1-forma $\vec x$.

L'operatore $D$ è debolmente ellittico se $\sigma_\vec x(D)$ è un isomorfismo lineare per ogni campo covettoriale $\vec x$ non nullo.

L'operatore $D$ è fortemente ellittico se per qualche costante $c>0$:

$([\sigma_\vec x(D)](v),v) \geq c\|v\|^2$

per ogni $\|\vec x\|=1$ e per ogni $v$ del fibrato, con $(\cdot,\cdot)$ un prodotto interno.

Operatori del secondo ordine

Si considerino operatori differenziali parziali lineari del secondo ordine della forma:

$P\phi = \sum_{k,j} a_{k j} D_k D_j \phi + \sum_\ell b_\ell D_{\ell}\phi +c \phi$

dove $D_k = \frac{1}{\sqrt{-1}} \partial_{x_k}$. Tale operatore è ellittico se per ogni $x$ la matrice dei coefficienti dei termini di ordine massimo:

$\begin{bmatrix} a_{1 1}(x) & a_{1 2}(x) & \cdots & a_{1 n}(x) \\ a_{2 1}(x) & a_{2 2}(x) & \cdots & a_{2 n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}(x) & a_{n 2}(x) & \cdots & a_{n n}(x) \end{bmatrix}$

è una matrice simmetrica reale definita positiva. In particolare, per ogni vettore non-nullo:

$\vec{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \ldots , \xi_n)$

vale la seguente condizione di ellitticità:

$\sum_{k,j} a_{k j}(x) \xi_k \xi_j > 0$

Per molti impieghi, tale condizione non è sufficientemente forte e dev'essere quindi sostituita da una condizione di ellitticità uniforme:

$\sum_{k,j} a_{k j}(x) \xi_k \xi_j > C |\xi|^2$

dove $C$ è una costante positiva.

Laplaciano

Per approfondire, vedi operatore di Laplace.

Un importante esempio di operatore ellittico è il Laplaciano. Equazioni della forma:

$P u = 0 \quad$

vengono dette equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico se $P$ è un operatore ellittico. Le usuali equazioni alle derivate parziali che coinvolgono il tempo, quali ad esempio l'equazione del calore e l'equazione di Schrödinger, contengono anche operatori ellittici che coinvolgono le variabili spaziali, così come le derivate temporali. Gli operatori ellittici sono caratteristici della teoria del potenziale. Le loro soluzioni, dette funzioni armoniche, tendono ad essere funzioni lisce se i coefficienti nell'operatore sono continui. Più semplicemente, soluzioni stazionarie ad equazioni iperboliche e ad equazioni paraboliche generalmente risolvono equazioni ellittiche.

L'opposto del Laplaciano in $\R^n$, dato da:

$- \nabla^2= \sum_{\ell=1}^n D_\ell^2$

è un operatore uniformemente ellittico.

Bibliografia

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0821807722

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
• Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

Collegamenti esterni

• Linear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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