Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

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In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare ed a Sofia Kovalevskaya (1875) in generale.

Primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:

{\partial u_i \over \partial t} = F_i \left( u_1, \ldots, u_m; t, x_1, ... x_n ; {\partial u_1 \over \partial x_1}, \ldots, {\partial u_m \over \partial x_n} \right)

in cui F_1 \dots , F_m sono analitiche in un intorno del punto (u_1^0, \ldots, u_m^0; t^0, x_1^0, \ldots, x_n^0) con condizioni iniziali:

u_i=f_i(x_1,\ldots,x_n)

per il tempo iniziale t=t_0, e le f_1 \dots , f_m sono analitiche in un intorno del punto (x_1^0, \ldots, x_n^0) tale che  u_i^0 = f_i (x^0_1, \ldots, x^0_n).

Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.

Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile  t' = t - \phi (x_1, \ldots, x_m) si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano t=t_0.

Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della PDE.

Ordine superiore[modifica | modifica wikitesto]

Se F e f_j sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:

 \partial_t^k h = F\left(x,t,\partial_t^j\,\partial_x^\alpha h \right) \qquad j<k \quad |\alpha|+j\le k

con condizione iniziale:

 \partial_t^j h(x,0) = f_j(x)\qquad 0\le j<k

possiede una soluzione unica un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di h nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.

Per esempio, l'equazione del calore:

 \partial_t h = \partial_x^2 h

con la condizione:

h(0,x) = {1\over 1+x^2}

per t = 0, posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto (0,0), che tuttavia non converge per tutti i valori di t diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione cohomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.

Ad esempio, dato n\le m, sia Y=\{ x_1=\cdots=x_n \}. Il sistema \partial_{x_i} f=g_i, i=1,...,n, possiede una soluzione f\in \mathbb C \{ x_1,...,x_m\} se e solo se le condizioni \partial_{x_i}g_j=\partial_{x_j}g_i sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condfizione uniziale f|_Y=h, dove h\in \mathbb C \{ x_{n+1},...,x_m\}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) L. Bers, F. John, M. Schechter, Partial differential equations , Interscience (1964)
  • (EN) A.V. Bitsadze, Equations of mathematical physics , MIR (1980) (Translated from Russian)
  • (EN) V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics , MIR (1984) (Translated from Russian)
  • (EN) R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Partial differential equations , 2 , Interscience (1965) (Translated from German)
  • (EN) L. Hörmander, Linear partial differential operators , Springer (1963)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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