Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

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In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare ed a Sofia Kovalevskaya (1875) in generale.

Enunciato per EDP del prim'ordine[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti

{\partial u_i \over \partial t} = F_i \left( u_1, \ldots, u_m; t, x_1, ... x_n ; {\partial u_1 \over \partial x_1}, \ldots, {\partial u_m \over \partial x_n} \right)

in cui F1, ..., Fm sono analitiche in un intorno del punto (u_1^0, \ldots, u_m^0; t^0, x_1^0, \ldots, x_n^0) con condizioni iniziali

u_i=f_i(x_1,\ldots,x_n)

per il tempo iniziale t=to, e le f1, ..., fm sono analitiche in un intorno del punto (x_1^0, \ldots, x_n^0) tale che  u_i^0 = f_i (x^0_1, \ldots, x^0_n).

Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.

Osservazioni[modifica | modifica sorgente]

Il teorema è un risultato di esistenza locale: non assicura che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante.

Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente: con un cambio di variabile  t' = t - \phi (x_1, \ldots, x_m) si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano t=to.

L'introduzione di derivate di ordine superiore è in genere laboriosa e costringe all'introduzione di variabili accessorie.

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