Equazione di Burgers

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L'equazione di Burgers è una equazione differenziale alle derivate parziali fondamentale per la meccanica dei fluidi ma utile anche in numerose aree della matematica applicata, quali la modellazione della gasdinamica e del flusso del traffico.

Per una data funzione di due variabili y(x1,x2) la forma generale dell'equazione di Burgers è:

\frac{\partial y}{\partial x_2} + y \frac{\partial y}{\partial x_1} - a \frac{\partial^2 y}{\partial x_1^2} = 0.

Quando a = 0, l'equazione diventa inviscida:

\frac{\partial y}{\partial x_2} + y \frac{\partial y}{\partial x_1} = 0,

che è un prototipo per equazioni per le quali la soluzione può sviluppare discontinuità a funzione gradino (onde d'urto). La precedente equazione è la "forma convenzionale" dell'equazione di Burgers.

La "forma conservazionale:

\frac{\partial y}{\partial x_2} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_1}\big(y^2\big) = 0,

La discussione seguente riguarda principalmente la "forma convenzionale".

Soluzione[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di Burgers inviscida è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine. La sua soluzione può essere costruita con il metodo delle caratteristiche. Seguendo questo metodo, se X(t) è una soluzione dell'equazione differenziale ordinaria

\frac{dx_1}{dx_2} = f[x_1,x_2]

allora f[x_1,x_2] è costante (come funzione di x2). Allora [x_1(x_2),y(x_2)] è una soluzione del sistema di equazioni ordinarie

\frac{dx_1}{dx_2}=y
\frac{dy}{dx_2}=0.

La soluzione di questo sistema, in termini dei valori iniziali, è

\displaystyle x_1(x_2)=x_1(0)+x_2 y(0)
\displaystyle y(t)=y(0).

Sostituendo x_1 (0)= a, e y(0)=y[x_1(0),0]=y(a,0), il sistema diventa

\displaystyle x_1(x_2)=a+x_2 y(a,0)
\displaystyle y(x_2)=y(0).

In conclusione:

\displaystyle 
y(a,0)=y(0)=y(t)=y[x_1(x_2),x_2]=y[a+x_2 y(a,0),x_2].

Questa è una relazione implicita che determina la soluzione dell'equazione di Burgers inviscida, solo se le caratteristiche non si intersecano. Se le caratteristiche si intersecano, non esiste una soluzione classica all'equazione.

L'equazione di Burgers nel caso viscoso può essere linearizzata con la sostituzione di Cole-Hopf

y=-2\nu \frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial x_1},

che la trasforma nell'equazione del calore

\frac{\partial\phi}{\partial x_2}=\nu\frac{\partial^2\phi}{\partial x_1^2}.

Questo permette di risolverla come un problema ai valori iniziali:

y(x_1,x_2)=-2\nu\frac{\partial}{\partial x_1}\ln\Bigl\{(4\pi\nu x_2)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x_1-x_1')^2}{4\nu x_2} -\frac{1}{2\nu}\int_0^{x_1'}y(x_1'',0)dx_1''\Bigr]dx_1'\Bigr\}.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • F.J. Alexander, H. Chen, S. Chen, G.D. Doolen, Lattice Boltzmann model for compressible fluids in Physical Review A, vol. 46, n. 4, 1992, pp. 1967-1970. DOI:10.1103/PhysRevA.46.1967.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]