Torsione

La torsione è uno degli sforzi elementari cui può essere soggetto un corpo, insieme alla compressione, la trazione, la flessione e il taglio. La sollecitazione che lo provoca è detta momento torcente.

La soluzione del problema della torsione è esatta per travi (o alberi ai quali spesso la letteratura scientifica americana si riferisce) a sezione circolare (piena o cava) mentre sono necessarie delle approssimazioni per le sezioni cave a parete sottile, rettangolari e di conseguenza quelle composte da rettangoli sottili (come i classici profilati in acciaio).

Esempi di torsione: il corpo umano

Per comprendere immediatamente il concetto di torsione, si può pensare al collo, allo sforzo compiuto per muovere la testa, alla sensazione di dolore nel caso in cui venga girato violentemente attorno al proprio asse (la colonna vertebrale).

Se la nostra testa venisse sollecitata da una forte torsione, questa verrebbe trasferita alla parte alta del collo che comincerebbe probabilmente a cedere vistosamente con una rotazione. I muscoli e tendini del collo devono essere in grado di resistere a tale sollecitazione, contrastandola con un momento torcente uguale e contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio.

Se il corpo fosse molto rigido (elevata rigidezza torsionale) il collo non avrebbe possibilità di ammortizzare la torsione e la sollecitazione raggiungerebbe istantaneamente la base del collo, senza darci il tempo sufficiente per reagire e contrapporre la nostra forza muscolare.

La torsione interviene in numerosissime altre applicazioni, ogni volta che si imprime un momento torcente ad un oggetto rigido affinché esso trasferisca tale azione da un'estremità all'altra.

Soluzioni analitiche

Asta circolare sottoposta a momento torcente Z

L'azione del momento torcente si traduce in un insieme di sforzi elementari che prendono il nome di tensioni tangenziali ${\tau}$ applicate ad aree elementari che generano un momento equivalente all'azione a cui la sezione è localmente soggetta.

${M_t}=\int_A \sqrt{x^2+y^2}\, \tau_t \, \operatorname d A$

• $M_t$ : il momento torcente
• τ_t : tensione tangenziale
• ρ : la distanza dell'area elementare dal centro di torsione
• dA : area elementare su cui agisce la tensione tangenziale
• A : area della sezione considerata

Questa relazione deve essere soddisfatta in qualsiasi sezione, tuttavia non descrive la distribuzione delle tensioni per la quale è necessaria l'analisi delle deformazioni.

Inoltre per equilibrio esisteranno delle tensioni anche lungo l'asse della trave poiché per continuo di Cauchy non può esserci scorrimento relativo delle fibre parallele che compongono l'asta.

Ovviamente le soluzioni trovate valgono per il campo elastico del materiale nel quale valgono le relazioni di proporzionalità sollecitazioni-deformazioni e il principio di sovrapposizione degli effetti.

Barre a sezione circolare

Per le barre a sezione circolare si può determinare una soluzione esatta al problema dell'espressione dello sforzo tangenziale rispetto alla sollecitazione applicata.

Il loro asse di simmetria e la condizione di continuità del solido (né rottura, né compenetrazione di materiale) garantisce l'impossibilità di ingobbamenti o distorsioni della sezione; si hanno quindi solo semplici rotazioni attorno all'asse della trave degli infiniti dischi.

Quando viene applicata la torsione la sezione ruoterà di un angolo φ e contemporaneamente la trave si distorcerà in modo che le rette parallele all'asse formeranno un angolo γ. Questi due angoli condividono lo stesso arco di cerchio; sia quindi L la lunghezza della trave e ρ il raggio della sezione, è valida la relazione $\gamma L = \phi \sqrt{x^2+y^2}$ ovvero $\gamma = \frac{\phi}{L} \sqrt{x^2+y^2}$.

È interessante notare l'analogia con la flessione semplice ($\epsilon = \chi y$) nella quale la deformazione longitudinale è proporzionale alla distanza dal baricentro a meno della curvatura (qui invece espressa come gradiente dell'angolo di rotazione).

Distribuzione delle tensioni tangenziali

Dalla relazione si evince che la distorsione della trave è la stessa per tutti i punti equidistanti dall'asse e cresce linearmente con essa.

Si consideri ora la relazione costitutiva $\tau_t = G \gamma$. Sostituendola nella precedente si ha che il diagramma delle tensioni è identico a quello delle distorsioni scalato del modulo di elasticità tangenziale.

Con ρ = c, ovvero alla distanza massima dal centro della sezione, si ha - usando la proporzionalità - $\tau_t = \tau_{t max} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}$. Si richiami ora la relazione generale del momento torcente

$M_t = \int_A \tau_{t max} \frac{x^2 + y^2}{c} dA = \frac{\tau_{t max}}{c} J_{zz}$

dove $J_{zz} = \int_A (x^2 + y^2) dA$ è il momento secondo d'area.

Invertendo la relazione e ricordando quella precedente di proporzionalità, si ricava la soluzione esatta del problema:$\tau_t = \frac{M_t}{J_{zz}} \sqrt{x^2+y^2}$

in forte analogia con il criterio di Navier per la flessione semplice: $\sigma = \frac{M}{J_{xx}} y$.

Analogamente si può ricavare l'angolo di torsione ricordando che $\gamma = \gamma_{max} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}$ e $\gamma_{max} = \frac{\tau_{t max}}{G}$.

Si ha quindi $\phi = \frac{M_t \ L}{J_{zz} \ G}$. Tramite l'angolo è possibile determinare il modulo di resistenza al taglio G con delle macchine apposite che su un provino cilindrico inducono una torsione via via crescente fino al punto di snervamento.

Sezioni piene

Per le sezioni circolari piene il momento d'inerzia polare è dato da

$J_{zz} = \frac{1}{2} \pi C_e^4$

Sezioni cave

Valgono le considerazioni fatte in precedenza e il momento d'inerzia polare è dato da

$J_{zz} = \frac{1}{2} \pi (C_e^4 - C_i^4)$

Poiché nelle sezioni più comunemente usate lo spessore della lamina è molto piccolo si può utilizzare la formula approssimata $J_{zz} = 2 \pi C_m^3 t$ (con C_m raggio medio tra quello esterno e interno e t spessore della lamina) e considerare la distribuzione delle τ_t uniforme lungo lo spessore e pari al valore medio

$\tilde{\tau}_t = \frac{M_t}{2 \pi C_m^3 t} C_m$

Si ottiene perciò la relazione:

$\tau_t = \frac{M_t}{2 A \ t}.$

Barre a sezione cava di forma qualunque

La soluzione approssimata dei tubolari può essere estesa a barre a sezione cava di forma qualunque purché lo spessore sia di dimensioni trascurabili rispetto alle restanti dell'elemento.

Si avrà che $M_t = \oint_l (\tilde{\tau_t} \ t(s) \ dS) \ p$ con:

• l : lunghezza del "circuito" costituito dal perimetro della sezione (considerando il raggio medio)
• t(s) : spessore della barra che può variare a seconda dell'ascissa curvilinea s
• p : braccio della forza τ t dS rispetto al baricentro della sezione

Si pensi ora al caso analogo in idraulica di un canale chiuso nel quale circola un fluido incomprimibile. Per continuità la portata in due sezioni qualsiasi del circuito deve essere la stessa, ovvero il prodotto "quantità" per "area" è costante. Idem in questo caso dove il cosiddetto flusso di taglio deve essere costante, ovvero $\tau_{t1} \ a = \tau_{t2} \ b$ e quindi $q = \tilde{\tau_t} \ t$ è costante.

Sostituendo nella relazione del momento torcente si ha $M_t = \tilde{\tau_t} \ t \oint_l dS \ p$. La funzione integranda calcolata in tutto il circuito è equivalente al doppio dell'area della sezione, pertanto si ottiene la relazione approssimata precedentemente trovata per le sezioni circolari cave, che prende nome di formula di Bredt:

$\tau_t = \frac{M_t}{2 \Omega \ t}$

Dove $\Omega$ rappresenta l'area sottesa alla linea media. L'angolo di torsione è esprimibile da:

$\phi = \frac{M_t L}{4 \Omega^2 \ G} \oint_l \frac{dS}{t}$

Barre a sezione rettangolare (prismi a sezione non circolare)

In questa caso cade l'ipotesi precedente di assial-simmetria pertanto non potranno essere applicate le relazioni dimostrate. Per i prismi a sezione non circolare infatti la torsione porta all'ingobbamento della sezione la quale - nella rotazione - cambia aspetto (per il quadrato si ha ovviamente la situazione invariata per rotazioni di 90º o 180º).

Nelle strutture isostatiche le travi sono libere di ingobbarsi; in quelle iperstatiche invece l'ulteriore vincolo blocca questo fenomeno quindi insieme alle sollecitazioni tangenziali nasceranno delle sollecitazioni σ.

Si considerino le sezioni rettangolari. In virtù di quanto detto prima le tensioni non possono più variare linearmente nella sezione.

Le τ saranno nulle solo negli angoli della sezione. Si consideri infatti un parallelepipedo infinitesimo sullo spigolo di una barra a sezione quadrata sottoposta a torsione. Per equilibrio con l'esterno (sollecitazioni nulle sulla frontiera) anche le deformazioni saranno nulle. Allontanandoci queste cresceranno fino al massimo valore nella linea di mezzeria della barra.

Per una risoluzione approssimata del problema si consideri una sezione rettangolare allungata; per effetto della torsione sulle pareti nascerà un "circuito" di tensioni analogo alla circolazione di un fluido (nella parte di mezzo si avrà la "calma"). Per continuità il prodotto delle tensioni per il proprio braccio è costante, quindi le tensioni massime si hanno sulle pareti più lunghe. Si applica l'equilibrio tra il momento torcente e la distribuzione delle tensioni:

$\frac{M_t}{2} = 2 \cdot [F] \cdot \mathrm{braccio}$

ovvero la τ sul bordo più lungo porta metà del momento. Nell'equilibrio la forza [F] è data dalla risultante della distribuzione triangolare delle τ lungo la sezione considerando sia la parte inferiore che quella superiore (2). Sia a il bordo più lungo e b quello più corto. Si ricava:

$\frac{M_t}{2} = (\frac{1}{2} \tau_{t max} \frac{b}{2} a) \frac{2}{3} \frac{b}{2} \ 2$

e quindi

$\tau_{t max} = \frac{M_t}{\frac{ab^2}{3}}$.

a/b	c1	c2
1	0,208	0,1406
1,2	0,219	0,1661
1,5	0,231	0,1958
2	0,246	0,229
2,5	0,248	0,249
3	0,267	0,263
4	0,282	0,281
5	0,291	0,291
10	0,312	0,312
∞	0,333	0,333

Nei calcoli è sovente l'uso della relazione $\tau_t = \frac{M_t}{c_1 a b^2}$ con c₁ valore che dipende dal rapporto tra a e b. L'angolo di torsione è pari a $\phi = \frac{M_t \ L}{c_2 ab^3 G}$ con c₂ valore che dipende dal rapporto tra a e b. I coefficienti c₁ e c₂ per barre rettangolari sono riportati nella Tabella. Per a/b > 5 i due coefficienti sono uguali e si può comunque approssimarli a 1/3.

Sezioni composte

Nel caso di sezioni aperte composte (come i comuni profilati usati per le travi quali IPE o HE) si ha un problema internamente iperstatico.

Il momento torcente che viene applicato viene assorbito dalle sezioni presenti: $M_t = \sum_i M_t(i)$. Per congruenza tutte le sezioni devono ruotare dello stesso angolo $\theta = \theta_i$. Per sezioni rettangolari si ha

$I_t(i) = \frac{c_2 ab^3}{L}$

$M_t(i) = G \theta I_t(i)$

quindi sostituendo

$\theta = \frac{M_t}{G \sum_i I_t(i)}.$

Si può dunque calcolare il momento torcente su ogni sezione rettangolare:

$M_t(i) = M_t \frac{I_t(i)}{\sum_i I_t(i)}$

e di conseguenza la tensione che singolarmente agisce.

Efficienza delle sezioni a torsione

Le sezioni che meglio sopportano la torsione sono strutture tubolari, cioè aventi sezione con cavità centrale e massa concentrata sul diametro esterno; esse sono infatti quelle a maggior momento d'inerzia e quindi quelle che minimizzano il valore della $\tau_t$

Voci correlate

• Torsione nel cemento armato

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Collegamenti esterni

• Torsione nel Nuovo Soggettario della BNCF

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