Equazione differenziale di Bernoulli

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In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

y' +  f(x) y = g(x) y^n

con n valore reale.

Se x_0 \in (a, b) e:

\left\{\begin{array}{ll}
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty) \qquad \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\}\\
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\} \qquad \alpha = 2 \\\end{array}\right.

è una soluzione dell'equazione lineare:

z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x)

allora si ha che y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}} è una soluzione di:

y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x) \qquad y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione y\equiv 0 per y_0=0 per ogni \alpha>0.

Metodo di risoluzione[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per n=1 o n=0 l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per y^n (tenendo conto del fatto che, per n>0, y=0 rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per n<0 la funzione y deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

\frac 1 {y^n} \frac {dy} {dx} +  \frac {f(x)} {y^{n-1}}  = g(x)

Si effettua poi la sostituzione w = 1 / y^{n-1}, da cui:

w' =\frac {1-n} {y^n} \frac {dy} {dx}

si ha:

{w'}  + w (1-n) {f(x)} = (1-n) g(x)

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

{w'}  = w (n-1) {f(x)} + (1-n) g(x) = F(x) w + G(x)

e integrando, si ottiene:

w = e^{\int{F} }\left ( \int{G e^{-\int {F} } } + c \right )

da cui poi si ricava la y.

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

y= z^{\frac 1 {1-n}}

nell'equazione:

y' =  -f(x) y + g(x) y^n

in modo che si ha:

z' = (1-n) y' y^{-n}

da cui:

 y' = z' \frac {y^n}{1-n}

quindi sostituendo e semplificando:

 z' =  (1-n) [-f(x) z +  g(x) ]

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato:

y' +  2y \operatorname {sin} x = y^{-2}\operatorname {sin} x

dividendo si ha:

\frac {y'} {y^{-2}} +  \frac { 2\operatorname {sin} x } {y^{-3}}  = \operatorname {sin} x

ponendo w = \frac 1 {y^{-3}}:

w' = - w  6\operatorname {sin} x + 3 \operatorname {sin} x

e integrando:

w=e^{6\operatorname {cos} x } \left ( \frac 1 2 e^{-6\operatorname {cos} x} +C \right ) = \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x}

Ricordando che w = y^3, l'unica radice reale per y è:

y={}^3 \sqrt { \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x } }

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
  • (EN) Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
  • (EN) Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69-71, 1964.
  • (EN) Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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