Equazione differenziale di Bernoulli

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In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un caso particolare di equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

y' +  f(x) y = g(x) y^n

con "n" valore reale.

Metodo di risoluzione[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I .

Per n=1 o n=0 l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque, è il seguente: si divide tutto per yn, (tenendo conto del fatto che per n>0, y=0 rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per n<0, y deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo

1)      \frac 1 {y^n} \frac {dy} {dx} +  \frac {f(x)} {y^{n-1}}  = g(x)

Si effettua poi la sostituzione w = \frac 1 {y^{n-1}}, da cui w' =\frac {1-n} {y^n} \frac {dy} {dx}. Sostituendo nella 1 otteniamo

{w'}  + w (1-n) {f(x)} = (1-n) g(x)

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come

{w'}  = w (n-1) {f(x)} + (1-n) g(x) = F(x) w + G(x)

e integrando, otteniamo

w = e^{\int{F} }\left ( \int{G e^{-\int {F} } } + c \right )

da cui poi si ricava la y.

Una variante consiste nel sostituire direttamente

y= z^{\frac 1 {1-n}}

nell'equazione

y' =  -f(x) y + g(x) y^n

Si ha

z' = (1-n) y' y^{-n}   \Rarr  y' = z' \frac {y^n}{1-n}

quindi sostituendo e semplificando

 z' =  (1-n) [-
f(x) z +  g(x) ]

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato

y' +  2y \operatorname {sin} x = y^{-2}\operatorname {sin} x

dividendo otteniamo

\frac {y'} {y^{-2}} +  \frac { 2\operatorname {sin} x } {y^{-3}}  = \operatorname {sin} x

ponendo w = \frac 1 {y^{-3}} abbiamo

w' = - w  6\operatorname {sin} x + 3 \operatorname {sin} x

integrando

w=e^{6\operatorname {cos} x } \left ( \frac 1 2 e^{-6\operatorname {cos} x} +C \right ) = \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x}

ricordando che w = y^3, l'unica radice reale per y è

y={}^3 \sqrt { \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x } }

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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