Equazione differenziale di Bernoulli

In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un caso particolare di equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

$y' + f(x) y = g(x) y^n$

con "n" valore reale.

Metodo di risoluzione

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I .

Per n=1 o n=0 l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque, è il seguente: si divide tutto per yⁿ, (tenendo conto del fatto che per n>0, y=0 rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per n<0, y deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo

1)      $\frac 1 {y^n} \frac {dy} {dx} + \frac {f(x)} {y^{n-1}} = g(x)$

Si effettua poi la sostituzione $w = \frac 1 {y^{n-1}}$, da cui $w' =\frac {1-n} {y^n} \frac {dy} {dx}$. Sostituendo nella 1 otteniamo

${w'} + w (1-n) {f(x)} = (1-n) g(x)$

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come

${w'} = w (n-1) {f(x)} + (1-n) g(x) = F(x) w + G(x)$

e integrando, otteniamo

$w = e^{\int{F} }\left ( \int{G e^{-\int {F} } } + c \right )$

da cui poi si ricava la y.

Una variante consiste nel sostituire direttamente

$y= z^{\frac 1 {1-n}}$

nell'equazione

$y' = f(x) y + g(x) y^n$

Si ha

$z' = (1-n) y' y^{-n} \Rarr y' = z' \frac {y^n}{1-n}$

quindi sostituendo e semplificando

$z' = (1-n) [f(x) z + g(x) ]$

Esempio

Sia dato

$y' + 2y \operatorname {sin} x = y^{-2}\operatorname {sin} x$

dividendo otteniamo

$\frac {y'} {y^{-2}} + \frac { 2\operatorname {sin} x } {y^{-3}} = \operatorname {sin} x$

ponendo $w = \frac 1 {y^{-3}}$ abbiamo

$w' = - w 6\operatorname {sin} x + 3 \operatorname {sin} x$

integrando

$w=e^{6\operatorname {cos} x } \left ( \frac 1 2 e^{-6\operatorname {cos} x} +C \right ) = \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x}$

ricordando che $w = y^3$, l'unica radice reale per y è

$y={}^3 \sqrt { \frac 1 2 + C e^{6\operatorname {cos} x } }$

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Famiglia Bernoulli

Collegamenti esterni

• (EN) MathWorld
• (EN) SosMath
• (EN) Lamar University

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