Funzione costante
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In matematica una funzione costante (a volte anche chiamata collasso) è una funzione i cui valori non variano, e sono quindi costanti.
Definizione [modifica]
Una funzione f:X → Y tra due insiemi è costante se esiste un y in Y per cui f(x) = y per ogni x in X. La funzione f assume cioè lo stesso valore y su tutti gli x in X.
Ad esempio, la funzione f:R → R definita sui numeri reali R data da f(x) = 4 (indipendentemente da x) è costante.
Una funzione f:X→Y è costante se e solo se vale la seguente proprietà universale:
- per ogni coppia di funzioni g, h : Z → X, vale f o g = f o h, (dove "o" denota la composizione di funzioni).
Questa proprietà dice che la funzione costante è un morfismo costante nella categoria delle funzioni.
Proprietà [modifica]
- La composizione di una qualsiasi funzione con una funzione costante è costante.
- Una funzione costante tra due insiemi, entrambi con almeno due punti, non è né iniettiva né suriettiva.
- Una funzione polinomiale da R in R è costante se e solo se il polinomio ha grado zero.
- Se I è un intervallo e f:I→R è derivabile, è costante se e solo se ha derivata ovunque nulla.
- Ogni funzione costante fra spazi topologici è continua.
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