Equazione del trasporto

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In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che nel caso di coefficienti costanti assume la forma:[1]

 \frac{\partial{u}}{\partial t } + \mathbf b \cdot \nabla u = f

dove \nabla è il gradiente e:

u (\mathbf x, t) : \mathbb{R}^n \times [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}

è la funzione incognita nelle variabili posizione \mathbf x \in \R^n e tempo t \in \R, mentre \mathbf b \in \R^n ed f è il termine sorgente, che condivide con u dominio e codominio.

Soluzione per l'equazione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:

 \frac{\partial{u}}{\partial t } + \mathbf b \cdot \nabla u = 0

L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di u nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.[2]

Si consideri il generico punto (\mathbf x, t) \in \mathbb{R}^n \times [0, + \infty) e si definisca la funzione:

z (s) = u(\mathbf x + s \mathbf b, t + s)

con s reale.

Il differenziale di tale funzione è:

d z = \sum_i^n \frac{\partial z}{\partial x_i}dx_i(s) + \frac{\partial z}{\partial t}dt(s) = \nabla z \cdot d \mathbf x (s) + \frac{\partial z}{\partial t}dt(s)

Essendo:

\frac{d \mathbf x (s)}{d s} = \mathbf b \qquad \frac{d t(s)}{d s} = 1

la derivata totale rispetto a s è:

 \frac{d z}{d s} = \frac{\partial z}{\partial t} +  \mathbf b \cdot \nabla z = 0

L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi z è una funzione costante nella variabile s. Questo significa che u è una funzione costante in ogni punto (x, t) nella direzione (\mathbf b, 1): tale direzione è una retta se \mathbf b è costante, ed è parametrizzata da (\mathbf x + s \mathbf b, t + s). Conoscendo il valore di u lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di u in tutto il dominio.[2]

Si ponga come condizione al contorno che nel punto t=0 si abbia u)g, con g nota. La direzione di u interseca il piano \R^n \times [t = 0] quando s=-t, e quindi:

u(\mathbf x - t \mathbf b, 0) = g(\mathbf x - t \mathbf b)

da cui segue che:

u(\mathbf x,t) = g(\mathbf x - t \mathbf b)

Se g è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.

Soluzione per l'equazione non omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto t=0 si abbia u=g. Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.[3]

Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:

z (s) = u(\mathbf x + s \mathbf b, t + s)

Si ha:

 \frac{d z}{d s} = \frac{\partial z}{\partial t} +  \mathbf b \cdot \nabla z = f(\mathbf x + s \mathbf b, t + s)

Dal momento che:

u(\mathbf x , t) = z[s=0] \qquad g(\mathbf x - \mathbf b t) = -z[s=-t]

si ottiene:[1]

\int_{-t}^{0} \frac{d z (s)}{d s}ds = z[s=0] - z[s=-t] = u(\mathbf x , t) - g(\mathbf x - \mathbf b t) = \int_{-t}^{0} f(\mathbf x + s \mathbf b, t + s)ds = \int_{0}^{t} f(\mathbf x + (s-t) \mathbf b,s)ds

e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:

u(\mathbf x , t) = g(\mathbf x - \mathbf bt) + \int_{0}^{t} f(\mathbf x + (s-t) \mathbf b,s)ds

La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Evans, Pag. 19
  2. ^ a b Evans, Pag. 18
  3. ^ Evans, Pag. 7

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0821807722.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]