Equazione di Helmholtz

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In analisi matematica, l'equazione di Helmholtz è un'equazione differenziale alle derivate parziali ellittica ottenuta a partire dall'equazione di d'Alembert cercando soluzioni che abbiano una dipendenza armonica dal tempo, cioè variabili nel tempo in modo sinusoidale.

Molte funzioni speciali sono ottenute cercando soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili in coordinate curvilinee. Alcuni esempi sono le armoniche cilindriche, le funzioni paraboliche del cilindro e le armoniche sferiche.

Eisenhardt dimostrò nel 1934 che esistono solamente undici sistemi di coordinate curvilinee che permettono di trovare soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Helmholtz ha forma canonica:

\nabla^2 f+k^2 f=0 ,

dove \nabla ^2 è l'operatore di Laplace, c è la velocità delle onde, e k=\omega/c il vettore d'onda. Si può vedere l'equazione di Helmholtz come un'equazione agli autovalori del laplaciano, e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del laplaciano.

L'equazione si può anche ottenere a partire dall'equazione delle onde imponendo che la soluzione sia del tipo:

 f(\mathbf{r},t)=e^{i\omega t} f(\mathbf{r})

Legame con l'equazione delle onde[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione delle onde.

L'equazione di Helmholtz può essere considerata come una versione indipendente dal tempo dell'equazione delle onde:

\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)f(\mathbf{r},t)=0

Assumendo che la funzione  f(\mathbf{r},t) si possa fattorizzare, ovvero si possano separare i termini dipendenti dal tempo ed i termini dipendenti dalla posizione:

f(\mathbf{r},t)=R (\mathbf{r}) T(t)

e sostituendo tale espressione nell'equazione delle onde, si ottiene:

{\nabla^2 R \over R } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2 }

In tale equazione la dipendenza da \mathbf{r} e t è separata nei due membri, e l'uguaglianza è valida nel caso generale se e solo se entrambi i membri sono costanti. Pertanto, si ottengono in tal modo due equazioni distinte per R(\mathbf{r}) e T(\mathbf{t}):

{\nabla^2 R \over R } = -k^2 \qquad {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } = -k^2

dove si è posto il valore costante pari a -k^2 senza perdere generalità.

Riscrivendo la prima equazione si ottiene l'equazione di Helmholtz:

\nabla^2 R + k^2 R  =  ( \nabla^2 + k^2)  R  =  0

In modo analogo, sostituendo:

 \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc

la seconda equazione diventa:

\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0

dove k è il vettore d'onda.

Soluzioni armoniche[modifica | modifica wikitesto]

Le soluzioni dell'equazione di Helmholtz hanno la forma:

A(\mathbf{r}) = C_1e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + C_2e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}

Tale espressione corrisponde alla soluzione armonica:

T(t) = D_1e^{i \omega t} + D_2e^{-i \omega t}

dove C e D sono costanti complesse arbitrarie che dipendono dalle condizioni al contorno e iniziali. L'uguaglianza è inoltre soggetta alla relazione di dispersione:

k = |\mathbf{k}| = { \omega \over c }

La soluzione temporale è quindi una combinazione lineare di seni e coseni, mentre quella spaziale dipende dalle condizioni al contorno.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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