Fluido ideale

Un fluido ideale è un fluido che ha densità costante e coefficiente di viscosità nullo. La più importante conseguenza è che se il coefficiente di viscosità è nullo, in un fluido ideale non vi sono sforzi di taglio. Ogni sforzo si presenta come sforzo normale:$\sigma = - p \vec n$.

Alcuni liquidi comuni tra cui l'acqua ha un coefficiente di viscosità molto basso e un modulo di comprimibilità molto alto. Ciò ci induce a considerarli fluidi incomprimibili e fluidi non viscosi.

Principio di Pascal

In un fluido ideale la pressione in un punto è indipendente dall'orientamento della superficie a cui si riferisce. In effetti riprendendo la relazione di Cauchy in un punto P di giacitura $\vec n$:

$\vec \sigma_n = - p \vec n = \vec \sigma_x \cos \widehat{ni} + \vec \sigma_y \cos \widehat{nj} + \vec \sigma_z \cos \widehat{nk}$

dove $\vec \sigma_x = (\sigma_{xx},0,0), \vec \sigma_y =(0,\sigma_{yy},0), \vec \sigma_z = (0,0,\sigma_{zz})$ sono le pressioni sugli assi coordinati di versori normali i, j, k. In termini di componenti risulta:

$-p = \sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz}$

cioè per l'appunto indipendente dalla giacitura.

Flusso stazionario

Per flusso stazionario si intende che il moto e in particolare la velocità della particella o del volume infinitesimo del fluido (inteso come corpo continuo e omogeneo) è indipendente dal tempo. In tal caso quindi è verificata la conservazione della massa e da essa ricaviamo l'equazione di continuità.

Sia dato un tubo di flusso di sezioni $S_1$ ed $S_2$ entro il quale le densità siano $\rho_1 \ , \ \rho_2$ e le velocità siano $v_1 \ , \ v_2$, la massa non può variare attraversando il tubo di flusso nella frazione di tempo dt, cioè:

$dm_1 = \rho_1 v_1 S_1 dt = \rho_2 v_2 S_2 dt = dm_2$

Dunque:

$\rho_1 v_1 S_1 = \rho_2 v_2 S_2$ che è appunto l'equazione di continuità.

Se il fluido oltre che stazionario è anche incomprimibile cioè: $\rho_1 = \rho_2$ allora:

$v_1 S_1 = v_2 S_2$

e la quantità $v \cdot S = \dot V = cost$ si chiama portata volumica che si misura in $\left[ \frac{m^3}{s} \right]$.

Dinamica dei fluidi ideali

Consideriamo un volume unitario di fluido ideale e determiniamo la seconda legge di Newton. Il volume elementare è soggetto a forze di volume e di superficie (vedi deformazioni nei fluidi) allora:

$\vec F^V + \frac{\partial \vec \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \vec \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \vec \sigma_z}{\partial z} = \rho \cdot \vec a$

dove chiaramente vale la relazione di Cauchy per i fluidi ideali. In termini di componenti si ha:

$\begin{cases} F^{V}_{x} - \frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{d v_x}{dt} \\ F^{V}_{y} - \frac{\partial p}{\partial y} = \rho \frac{d v_y}{dt} \\ F^{V}_{z} - \frac{\partial p}{\partial z} = \rho \frac{d v_z}{dt} \end{cases}$

Introducendo il gradiente della pressione:

$\vec F^V - \vec \nabla p = \rho \frac{d \vec v}{dt}$

che è l'equazione dinamica dei fluidi ideali. La pressione rappresenta una funzione scalare tramite la quale si deducono le forze di superficie agenti sul volume unitario e si vede che esse sono forze conservative essendo date dal gradiente della pressione. La stessa pressione in questa forma rappresenta l'energia potenziale per unità di volume delle forze conservative di superficie.

A partire dall'equazione dinamica dei fluidi ideali si ricava l'equazione di Bernoulli e l'equazione di continuità e il teorema di Torricelli.

Importanti sono le applicazioni dell'equazione di Bernoulli con lo studio del tubo di Venturi e del Tubo di Pilot-Prandtl e dell'effetto Magnus.

Statica dei fluidi ideali

Per un fluido ideale vale la condizione di equilibrio idrostatico, identica a quella che vale per ogni sistema materiale: il risultante delle forze deve essere nullo affinché il sistema si trovi in equilibrio.

Questo significa analiticamente che:

$\vec F^V - \vec \nabla p = 0$ cioè $\vec F_V = \vec \nabla p$

In forma scalare questa equazione ci dice che anche se le forze di volume sono forze conservative, per un fluido ideale, possono essere espresse mediante il gradiente di una funzione potenziale:

$\begin{cases} F^{V}_{x} = \frac{\partial p}{\partial x} \\ F^{V}_{y} = \frac{\partial p}{\partial y} \\ F^{V}_{z} = \frac{\partial p}{\partial z} \end{cases}$

$- \vec \nabla U^V = \vec \nabla p$

Da questa equazione si può facilmente ricavare la legge di Stevino per fluidi incomprimibili e la spinta di Archimede

Voci correlate

• Flusso stazionario
• Deformazioni nei fluidi
• Viscosità
• Relazione di Cauchy

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