Equazione di Bernoulli

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Equazione di Bernoulli.
Acqua in caduta

In fluidodinamica, l'equazione di Bernoulli rappresenta un modello semplificato di flusso inviscido. L'equazione di Bernoulli si deriva mediante l'omonimo teorema dall'integrazione dell'equazione di Eulero della quantità di moto lungo una linea di flusso, e descrive il moto di un fluido lungo tale linea.

L'equazione descrive matematicamente l'effetto Bernoulli, per cui in un fluido ideale su cui non viene applicato un lavoro, per ogni incremento della velocità di deriva si ha simultaneamente una diminuzione della pressione o un cambiamento nell'energia potenziale del fluido, non necessariamente gravitazionale. Prende il nome da Daniel Bernoulli, nonostante fosse già noto in precedenza ad altri studiosi, fra cui Eulero.

Il campo più generale di validità del teorema di Bernoulli non è in realtà solo quello di fluido inviscido, ma è sufficiente che sia nulla la risultante delle azioni viscose legate al rotore della vorticità: quindi basta che il fluido sia incomprimibile, irrotazionale (potenziale) e stazionario (derivata parziale temporale della velocità nulla).

In queste ipotesi, le equazioni di Eulero possono essere integrate lungo una linea di flusso, conducendo all'equazione di Bernoulli, nella forma:

 p + \rho{u ^2 \over 2} + \rho g h = \mathrm{costante}

in cui:

  • ρ è la densità del fluido.
  • u rappresenta la velocità di deriva lungo la linea di flusso,
  • g è il campo medio, nelle applicazioni più frequenti diventa l'accelerazione di gravità,
  • h è la quota potenziale media della sezione,
  • p rappresenta la pressione di tipo statico lungo la linea di flusso,

Spiegazione semplificata[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Bernoulli può essere spiegato senza ricorrere al calcolo integrale.

Il lavoro compiuto dalle forze di superficie per spostare il fluido di un tratto \Delta l è pari a

L_1 = p_1 S_1\Delta l = p_1 V_1

dove p_1 è la pressione agente sulla sezione S_1, e V_1 è il volume di fluido che ha attraversato \Delta l.

Analogamente sarà necessario un lavoro per spostare il fluido presente in una sezione a valle di S_2. Tale lavoro sarà:

L_2 = -p_2 V_2

Ne segue che il lavoro totale compiuto dalle forze di superficie è:

L_S = L_1 + L_2 = p_1V_1 - p_2V_2

Il lavoro compiuto dalle forze di volume per spostare il fluido dall'altezza h_1 all'altezza h_2 corrisponderà alla variazione di energia potenziale gravitazionale:

L_V = mgh_1 - mgh_2

La somma di L_S ed L_V, sarà uguale alla variazione di energia cinetica:

L_S + L_V = {1 \over 2}mu_2^2 - {1 \over 2}mu_1^2

da cui segue che:

p_1V_1 - p_2V_2 + mgh_1 - mgh_2= {1 \over 2}mu_2^2 - {1 \over 2}mu_1^2

che equivale a:

p_1V_1 + mgh_1 + {1 \over 2}mu_1^2 = p_2V_2 + mgh_2 + {1 \over 2}mu_2^2

dividendo quindi ambo i membri per il volume si ottiene:

p_1 + \rho gh_1 + {1 \over 2}\rho u_1^2 = p_2 + \rho gh_2 + {1 \over 2}\rho u_2^2

che equivale a dire:

p + \rho gh + {1 \over 2}\rho u^2 = \mathrm{costante}

in cui:

  • p è la pressione
  • ρ è la densità (costante) del fluido
  • u è la velocità di deriva
  • g è l'accelerazione di gravità
  • h è l'altezza.

Applicazioni del teorema di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

Legge di Torricelli[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge di Torricelli.

L'applicazione più famosa del teorema di Bernoulli è la deduzione della velocità di fuoriuscita di un fluido da un recipiente in un campo uniforme (per esempio gravitazionale).

Si consideri un recipiente di forma qualsiasi riempito di un fluido, su cui è stato praticato un foro all'altezza h_0 = 0. Considerando come A_1 la sezione del recipiente, h l'altezza relativa ad h_0 a cui si trova la superficie libera del liquido e A_2 la sezione del foro si ottiene:

p_1 + \rho gh + {1 \over 2}\rho u_1^2 = p_2 + \rho gh_0 + {1 \over 2}\rho u_2^2

ma p_1 = p_2 quindi:

\rho gh + {1 \over 2}\rho u_1^2 = \rho gh_0 + {1 \over 2}\rho u_2^2

Dal momento che h_0 = 0

\rho gh + {1 \over 2}\rho u_1^2 = {1 \over 2}\rho u_2^2

Siccome il flusso è costante, u_1 è trascurabile rispetto a u_2 (poiché A_1 \gg A_2), per cui:

\rho gh = {1 \over 2}\rho u_2^2

da cui segue

u_2^2 = 2gh

o

u_2 = \sqrt{2gh}

anche detta legge di Torricelli poiché Torricelli giunse allo stesso risultato nel 1644 prima dei lavori di Bernoulli.

Portanza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Portanza.
Effetto di Bernoulli su un profilo alare

L'equazione di Bernoulli è anche in grado di quantificare (entro certi limiti) la portanza, ovvero la componente della forza normale al moto del fluido che agisce su un corpo immerso.

La portanza è data infatti dalla differenza di velocità di deriva che si ottiene volutamente dalla particolare forma dell'ala, che è costruita in modo da rendere la velocità dell'aria sulla faccia superiore maggiore di quella sulla faccia inferiore. Questa tecnica permette di generare una forza diretta verso l'alto data da una pressione sulla faccia inferiore maggiore di quella sulla faccia superiore.

p_i + {1 \over 2}\rho u_i^2 = p_s + {1 \over 2}\rho u_s^2
  • p_i: pressione dell'aria sulla faccia inferiore
  • u_i: velocità dell'aria sulla faccia inferiore
  • p_s: pressione dell'aria sulla faccia superiore
  • u_s: velocità dell'aria sulla faccia superiore

Quindi la differenza di pressione tra la faccia inferiore e superiore dell'ala sarà:

 (p_i-p_s) = {1 \over 2}\rho u_s^2 - {1 \over 2}\rho u_i^2

Questa differenza di pressione (p_i-p_s) ha semplicemente l'effetto di una pressione p della stessa intensità di (p_i-p_s): infatti viene prodotta una forza che è direttamente proporzionale alla superficie inferiore dell'ala. Infatti, per definizione:

 p  = {F \over A}

quindi la forza risultante sarà:

 F = pA

Il principio di Bernoulli non basta tuttavia per spiegare il fenomeno della portanza; si deve considerare anche l'effetto della curvatura delle linee di corrente sul profilo e la deviazione di esse verso il basso (Effetto Coandă).

Altri effetti spiegabili con l'equazione di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono molti fenomeni della vita di tutti i giorni che sono spiegabili tramite l'equazione di Bernoulli:

  • il distacco e la distruzione dei tetti delle costruzioni che vengono colpite da venti molto forti (durante uragani o eventi atmosferici molto violenti): infatti in questi casi le costruzioni, che sono al loro interno approssimativamente isolate rispetto all'esterno, sono sottoposte ad una grande differenza di pressione causata dalla forte velocità dell'aria esterna, che produce una diminuzione della pressione esterna, mentre la pressione all'interno della casa rimane invariata. La forza esercitata sulla superficie del tetto dalla differenza di pressione (che va dal basso verso l'alto) è capace di scoperchiarlo;
  • l'aterosclerosi è una malattia provocata dall'accumulo di materiale lipidico(grasso) nello strato più interno delle arterie. Per l'equazione di Bernoulli ad una diminuzione della sezione della cavità dove scorre il liquido (in questo caso sangue) corrisponde un aumento di velocità di deriva di quest'ultimo il quale provoca un abbassamento della pressione interna in quel punto. Di conseguenza la pressione esterna sarà maggiore di quella interna e tenderà a schiacciare l'arteria così da diminuire ulteriormente il flusso di sangue;
  • la chiusura di una porta in una stanza attraversata dal vento, anche nel caso in cui il vento soffi nella direzione in cui la porta dovrebbe aprirsi: questo perché la velocità dell'aria causa una depressione che induce il movimento della porta stessa.

Nei casi citati è possibile trascurare il termine gravitazionale dell'equazione di Bernoulli, in quanto le linee di flusso a cui si fa riferimento hanno approssimativamente la stessa energia potenziale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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