Equilibrio idrostatico

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L'equilibrio idrostatico è un bilanciamento tra la forza di gradiente e la forza di gravità nell'atmosfera della Terra.

Nell'atmosfera, la pressione dell'aria diminuisce con l'aumento dell'altitudine.

Ciò causa una forza diretta verso l'alto, denominata forza di gradiente, che tende a ridurre al minimo le differenze di pressione.

La forza di gravità, d'altra parte, equilibra quasi esattamente questa, mantenendo l'atmosfera legata alla Terra e conservando le differenze di pressione con l'altezza. Senza la forza di gradiente, l'atmosfera collasserebbe ad un involucro molto più sottile intorno alla Terra e senza la forza di gravità, la forza di gradiente diffonderebbe l'atmosfera nello spazio, lasciando la Terra quasi senza atmosfera.

Nelle stelle è l'equilibrio idrostatico che mantiene costante il volume e il diametro stellare, in quanto l'espansione data dall'energia di fusione viene contrastata dalla forza di gravità del plasma, che tende a farlo collassare.

Considerazioni matematiche[modifica | modifica wikitesto]

Per un volume di un fluido che non è in movimento o è in movimento costante, le leggi di Newton dichiarano che deve trovarsi in equilibrio di forze. Questo equilibrio è denominato equilibrio idrostatico.

Dividendo il volume del fluido in parti e considerandone una, ci sono 3 forze che agiscono: la prima è la forza verso il basso generata dalla pressione del fluido sovrastante

F_{\mathrm{superiore}}=P_{\mathrm{superiore}} \cdot A

dove P è la pressione e A è l'area.
La seconda è la forza verso l'alto generata dalla pressione fluido sottostante

F_{\mathrm{inferiore}}=-P_{\mathrm{inferiore}} \cdot A

dove il segno meno indica il verso di azione, contrario alla precedente.
Infine vi è la forza peso del volume

F_{\mathrm{peso}}= m\cdot a = G \cdot \frac{M(r)\cdot m}{r^2}= G \frac{4}{3} \pi r \rho (r) m

dove ρ è la densità, a è l'accelerazione di gravità (a = g sulla superficie terrestre) e V = \frac{4}{3} \pi r^3 è il volume.

Nell'ultima equazione possiamo sostituire m, essendo

 m = A\cdot h \cdot \rho (r)

dove h è l'altezza. La forza totale sul fluido è quindi:

F_{totale}=F_{\mathrm{superiore}}+F_{\mathrm{inferiore}}+F_{\mathrm{peso}}=P_{\mathrm{superiore}} \cdot A - P_{\mathrm{inferiore}} \cdot A + G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h \cdot A

Se come detto le forze sono in equilibrio F_{\mathrm{totale}}=0; è quindi possibile dividere per A

0=P_{\mathrm{superiore}} - P_{\mathrm{inferiore}} + G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h

da cui,

P_{\mathrm{superiore}} - P_{\mathrm{inferiore}} = - G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h

P_{\mathrm{superiore}} - P_{\mathrm{inferiore}} è la differenza di pressione nei due estremi dell'elemento di altezza h. Immaginiamo che il volume che stiamo studiando sia infinitesimale, cioè h=dr e dm=\rho dV=\rho A dr, possiamo allora scrivere l'equazione in forma differenziale:

dP = - G\frac{4}{3}\pi \rho (r)^2 rdr

ovvero:

 \frac{dP}{dr}=-G\frac{4}{3}\pi \rho (r)^2 r

La pressione è minore verso l'alto per cui il segno di dP/dr è negativo e la densità decresce con l'altezza.

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