Legge di Stevino

La legge di Stevin è uno dei principi fondamentali della statica dei fluidi (idrostatica). Venne enunciata da Simon Stevin (1548-1620) nel suo trattato del 1586 De Beghinselen des Waterwichts dedicato all'idrostatica.

La legge

La legge afferma che dato un fluido di densità costante $\rho$, la pressione esercitata da una colonna di fluido in un suo punto di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia affondamento di un punto dalla superficie in alto del liquido a contatto con l'ambiente esterno) è direttamente proporzionale a h,

$P_h= {\rho} \cdot {g} \cdot {h}$

essendo l'accelerazione di gravità g = 9,81 m/s².

Il prodotto $\rho$ per g (accelerazione di gravità) è pari al peso specifico $\gamma$ del fluido, pertanto la legge di Stevin può intendersi anche come legame fra la pressione in un punto del fluido e il suo affondamento dalla superficie libera, dove $\gamma$ è il coefficiente dei proporzionalità (costante):

$P_h= {\gamma} \cdot {h}$

Se la superficie della colonna di liquido è esposta alla pressione atmosferica $P_A$ allora la legge di Stevin può essere scritta anziché in termini di pressione relativa, in quella di pressione assoluta:

$P_h= {\rho} \cdot {g} \cdot {h} + P_A$

chiamando P_A = 101325 Pa la pressione atmosferica standard.

La legge di Stevin deriva direttamente dall'equazione del moto di un fluido ideale:

$\vec F^{(V)} - \vec \nabla p = \rho \frac{d\vec v}{d t}$

dove $\vec F^{(V)}$ rappresenta la forza di volume agente sul fluido, $p$ è la pressione e $\rho$ la densità. Nel caso di un fluido fermo, la condizione di equilibrio è tradotta in $\vec v = 0$, quindi:

$\vec F^{(V)} - \vec \nabla p = 0$

Questa equazione significa che nel caso statico le forze di volume devono uguagliare le forze di superficie. Se le forze cui è soggetto il fluido sono conservative allora la precedente equazione diventa:

$\vec F^{(V)} = - \vec \nabla \, U = \vec \nabla p$

dove U = ρgz + cost è l'energia potenziale dovuta alla forza di volume. L'equazione indica tra l'altro, che le superfici equipotenzali nel caso di fluido ideale sono anche superfici isobare. Supponendo che il fluido sia incomprimibile (come nel caso dei liquidi):

$\frac{d p}{d z} = - \rho g$

che integrata tra due quote $z_1 = h_1 \longrightarrow p(z_1) = p_1$ e $z_2 = h_2 \longrightarrow p(z_2) = p_2$:

$p_2 - p_1 = - \rho g (z_2 - z_1) \,$

che è appunto la legge di Stevin.

Supposto il liquido omogeneo, la pressione idrostatica è in ogni suo punto interno direttamente proporzionale alla distanza dalla superficie libera, alla densità del liquido e all'accelerazione di gravità. A questa va sommata la pressione atmosferica alla superficie del liquido, che si trasmette in tutto il fluido per il principio di Pascal.

In forma differenziale, la legge diventa

$dP = \rho \cdot g \cdot du$

Se la densità è costante si ha $z + \frac{P}{\gamma} = \zeta$, dove z è l'altezza geodetica da un piano di riferimento, $\gamma$ è il peso specifico del liquido e ζ è la quota piezometrica, costante.

Si deduce quindi che la differenza di pressione tra due punti di uno stesso liquido ad altezze diverse è dato semplicemente dal prodotto del peso specifico per la loro distanza: $z_a + \frac{P_a}{\gamma} = z_b + \frac{P_b}{\gamma} \longrightarrow (P_a - P_b) = \gamma (z_b - z_a)$.

Se la densità e la gravità variano con l'altezza, la legge diventa $P_y=P_o + \int_0^y \rho(y) g(y) dy$, dove $P_o$ è la pressione ad altezza y=0 in un sistema di riferimento con asse y rivolto verso il basso.

La legge di Stevin è alla base dei cosiddetti paradossi idrostatici.

Applicazioni

Tramite la legge di Stevin applicata ad una colonna di mercurio liquido, può essere dedotto il valore della pressione atmosferica misurata col barometro di Torricelli.

Nel caso dell'acqua ($\rho$=1000 kg/m³), la pressione aumenta di 9800 pascal per ogni metro di profondità, ovvero di circa 1 atmosfera ogni 10 metri di profondità. Nel caso dell'acqua, la pressione del liquido eguaglia quella atmosferica ad una profondità critica di circa 10 metri (cioè a 10 m di profondità di un bacino idrico la pressione è il doppio di quella atmosferica) poiché:

$P_{bacino}(10 \; \textrm{m}) = P_{atm} + P_{acq}$

Imponendo che la pressione atmosferica sia uguale alla pressione esercitata da una colonna d'acqua di altezza $h$ si ha:

$p_{atm} = \rho \cdot g \cdot h$

da cui si ricava l'altezza della colonna:

$h = \frac{p_{atm}}{\rho \cdot g} = \frac {101325 \; \textrm{Pa}} {1000 \; \frac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot 9,81 \; \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} \approx 10,33 \; \textrm{m}$.

Il principio è utilizzato nei comuni pozzi artesiani nei quali l'acqua affiora spontaneamente e sgorga in superficie, se la pressione è maggiore.

Bibliografia

• Enrico Turchetti; Romana Fasi, Elementi di Fisica, 1^a ed., Zanichelli, 1998. ISBN 8808097552

Voci correlate

Meccanica dei fluidi

• Fluido
• Fluido ideale
• Fluidodinamica
• Fluidostatica
• Meccanica dei fluidi

Verifica sperimentale

• Apparecchio di Haldat

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