Legge di Stevino

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In idrostatica la legge di Stevino è un'equazione lineare, che permette di calcolare la pressione esistente ad ogni profondità entro una colonna di fluido conoscendo la densità dello stesso. La legge è una semplificazione della equazione di Eulero per la quantità di moto nel caso di fluido statico in almeno un sistema di riferimento con densità costante e uniforme e soggetto ad accelerazione uniforme in quel sistema di riferimento, quale per esempio la pressione idrostatica esercitata sul fondale di un lago o del mare dalla colonna d'acqua sovrastante. Venne enunciata su base sperimentale da Simon Stevin (1548-1620) nel caso dell'accelerazione di gravità nel suo trattato del 1586 De Beghinselen des Waterwichts dedicato all'idrostatica, e poi generalizzato dapprima da Eulero, e poi da Navier.

Un esempio scorretto di applicazione della legge di Stevin è quello di una colonna di fluido in caduta da un recipiente che è soggetta a un'accelerazione uniforme in spazio (quella gravitazionale) ma, a differenza di una colonna di fluido in caduta libera, le zone del fluido che cadono per prime subiscono tale accelerazione per più tempo (accelerazione non uniforme in tempo) e quindi avranno velocità differenti e secondo l'equazione di Bernoulli le pressioni nelle zone della colonna più in basso saranno minori e non maggiori come esprimerebbe la legge di Stevin applicata erroneamente a tale caso.[spiegazione confusa ]

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

La legge afferma che la pressione esercitata da una colonna di fluido con densità costante  \rho in un suo punto di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la superficie del liquido che è a contatto con l' aria dell' ambiente esterno) è direttamente proporzionale alla profondità Δz e al campo medio <a>, che nel caso della Terra è il valore medio del campo gravitazionale terrestre g≈9,8 m/s²,[1]

 \Delta p = {\rho} \, \langle a \rangle \, \Delta z

ovvero in forma vettoriale:

 \Delta p = {\rho} \, \langle \bar a \rangle \cdot \Delta \vec r

L'equazione comporta anche che le superfici equipotenzali nel caso di fluido ideale sono anche superfici isobare. Se la superficie della colonna di liquido è esposta alla pressione atmosferica p_0 allora la legge di Stevino può essere scritta anziché in termini di pressione relativa, in quella di pressione assoluta:

p= {\rho} \, \langle a \rangle \, \Delta z + p_0

Il prodotto densità-campo medio è pari alla forza esterna volumetrica γ del fluido, pertanto la legge può intendersi anche come legame fra la pressione in un punto del fluido e il suo affondamento dalla superficie libera, dove γ è il coefficiente dei proporzionalità (costante):

 \Delta p= {\gamma} \, \Delta z

Supposto il liquido omogeneo, la variazione di pressione idrostatica è in ogni suo punto interno direttamente proporzionale alla distanza dalla superficie libera, alla densità del liquido e all'accelerazione. A questa va sommata la pressione atmosferica alla superficie del liquido, che si trasmette in tutto il fluido per la legge di Pascal per ottenere la pressione idrostatica assoluta.

Se la densità è costante si ha z = z_0 - \frac{p}{\gamma}, dove z è l'altezza geodetica da un piano di riferimento,  \gamma è il peso specifico del liquido e z0 è la quota piezometrica, costante.

Si deduce quindi che la differenza di pressione tra due punti di uno stesso liquido ad altezze diverse è dato semplicemente dal prodotto del peso specifico per la loro distanza: z_1+ \frac{p_1}{\gamma} = z_2 + \frac{P_2}{\gamma} \longrightarrow (P_1 - P_2) = \gamma (z_2 - z_1).

La legge di Stevin è alla base dei cosiddetti paradossi idrostatici, e spiega il comportamento dei comuni pozzi artesiani nei quali l'acqua affiora spontaneamente e sgorga in superficie, se la pressione alla testa della colonna è maggiore di quella atmosferica.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

L'altezza di una colonna d'acqua barometricamente equivalente all'intera atmosfera terrestre si calcola:

\Delta z_0 = 
\frac{p_0}{\rho \cdot g} =
\frac {101325  \; \textrm{Pa}}  {1000 \; \frac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot 9,81 \; \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} \approx  
10,33 \; \textrm{m}.

Basta cioè scendere sott'acqua ad una profondità di 10 metri per raddoppiare la pressione (2 atm), mentre il nuovo raddoppio si ha ad una profondità 30 metri (4 atm), quindi a 70 metri (8 atm), ecc. (in generale (n°atm - 1)*10 metri).(approssimato). La legge di Weber-Fechner, secondo cui l'orecchio risente della pressione in modo logaritmico, insieme alla legge di Stevin spiega quindi il crescere della frequenza nella compensazione con la vicinanza alla superficie da praticare nel nuoto subacqueo.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

La seconda equazione di Eulero si esprime nella derivata lagrangiana:

\frac{D\langle \bar v \rangle}{Dt} + \frac 1 \rho \nabla p - \langle a \rangle = \bar 0

dove \langle a \rangle rappresenta il campo medio agente sul fluido, p è la pressione e ρ la densità. Nel caso di un fluido stazionario:

\frac{D\langle \bar v \rangle}{Dt} = 0

l'equazione diventa semplicemente:

\nabla p = \rho \langle a \rangle

Questa equazione è chiamata legge di Stevin generalizzata e stabilisce che nel caso statico il gradiente di pressione è localmente proporzionale all'accelerazione di gravità, in analogia col secondo principio della dinamica. Se le forze cui è soggetto il fluido sono conservative allora la precedente equazione è integrabile:

\Delta p =  \int_{r_0}^{r_0+\Delta r} \rho \langle a \rangle \cdot \operatorname d\bar r

e se aggiungiamo l'ultima ipotesi che l'accelerazione imposta e la densità siano uniformi (valide rispettivamente per il campo gravitazionale terrestre e per liquidi):

\Delta p = \rho \langle a \rangle \cdot \int_{\bar r_0}^{\bar r_0+\Delta \bar r} \operatorname d\bar r = \rho \langle a \rangle \cdot \Delta \bar r

che è appunto la legge di Stevino.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Turchetti, op. cit., p. 76

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Meccanica dei fluidi[modifica | modifica sorgente]

Verifica sperimentale[modifica | modifica sorgente]