Teorema di unicità del limite

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Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni[modifica | modifica sorgente]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che

Una successione  \{a_n\} di numeri reali non può avere due limiti distinti.

In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che l_1, l_2 siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione \{a_n\}. Mostreremo che  l_1 = l_2 .

Per la definizione di limite, per ogni \varepsilon> 0 esistono  N_1 ed  N_2 tali che per ogni  i>N_1 è vera |a_i-l_1|<\varepsilon , e per ogni  i> N_2 è vera |a_i-l_2|<\varepsilon . Sia  N il massimo tra  N_1 e  N_2 . Allora per ogni  i > N abbiamo

 |l_1-l_2|<|l_1-a_i|+|a_i-l_2| <2\varepsilon

per la disuguaglianza triangolare. Quindi  |l_1-l_2| <2\varepsilon per ogni  \varepsilon >0 , e quindi |l_1-l_2|=0. Quindi  l_1 = l_2 .

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

Funzioni[modifica | modifica sorgente]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che

Una funzione  f:X\to\R definita su un intervallo aperto  X dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto  x_0 di accumulazione per  X .

In altre parole, se la funzione ha limite in  x_0 , questo è unico.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che l_1, l_2 siano limiti della funzione in  x_0 . Mostreremo che  l_1 = l_2 , ragionando per assurdo e supponendo quindi che  l_1 e  l_2 siano distinti. Allora esistono due intorni V_1 di l_1 e V_2 di l_2 disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni U_1 e U_2 di x_0 per cui vale:

f(x) appartiene a  V_1 per ogni x in  U_1 \cap X diverso da  x_0 ,
f(x) appartiene a  V_2 per ogni x in  U_2 \cap X diverso da  x_0 .

L'insieme U_1 \cap U_2 è un altro intorno di  x_0 , quindi contiene un punto  x di  X diverso da  x_0 perché  x_0 è punto di accumulazione per  X . Per questo punto,  f(x) è contemporaneamente in  V_1 e V_2 , che però sono disgiunti: questo è assurdo.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione  f:X\to Y fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo  \R^n o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio  Y sia di Hausdorff.

Osservazione[modifica | modifica sorgente]

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come \R^n con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:

Sia X = \R con la topologia euclidea, mentre Y=(\R,\Tau) con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia f:X \to Y , f(x)=x^2. Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:

\lim_{x \to 0} f(x)= a, per ogni a \leq 0.

Infatti, scelto un qualsiasi a \leq 0, i suoi intorni sono gli insiemi del tipo [a-r, +\infty), con r > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli [-\varepsilon, \varepsilon], restringendo opportunamente il raggio \varepsilon.

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