Spazio vettoriale quoziente

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali $U\subset V$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" $U$ allo zero. Si indica con

$V/U.$ (leggi: $V$ mod $U$).

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ ed un sottospazio vettoriale $U$, lo spazio quoziente $V/U$ è l'insieme quoziente di $V$ determinato dalla relazione d'equivalenza

$v \sim v' \Leftrightarrow v-v'\in U.$

Cioè, $v$ è equivalente a $v'$ se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio $U$.
Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in $V/U$ prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza.
La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di U in V. Se V è finito-dimensionale, questo è esattamente:

$\mbox{codim}_V(U)=\dim(V)-\dim(U) \$

Proprietà

Somma diretta

In presenza di una somma diretta

$V = U\oplus W$

lo spazio quoziente $V/U$ è isomorfo in modo naturale a $W$. L'isomorfismo è dato da

$v = u+w \mapsto w$

dove un elemento $v$ di $V$ è scritto in un unico modo come $u+w$, con $u,w$ appartenenti rispettivamente a $U,W$.

Dimensioni

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali

$0 \to U \to V \to V/U \to 0.$

In particolare,

$\dim V/U = \dim V- \dim U.$

Voci correlate

• Insieme quoziente
• Gruppo quoziente
• Topologia quoziente

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