Spazio vettoriale quoziente

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali U\subset V uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" U allo zero. Si indica con V/U, che si legge V mod U.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato uno spazio vettoriale V ed un sottospazio vettoriale U, lo spazio quoziente V/U è l'insieme quoziente di V (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su V) determinato dalla relazione d'equivalenza:

 v \sim v' \Leftrightarrow v-v'\in U

Cioè, v è equivalente a v' se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio U.

La classe di equivalenza di v è spesso denotata con:

[v] = v + U

dal momento che è data da:

[v] = \{v + n : n \in U \}

Lo spazio quoziente V/U è quindi definito come V/ \sim, l'insieme di tutte le classi di equivalenza su V per  \sim. La funzione che associa ad un vettore x \in V la classe di equivalenza [x] è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in V/U prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di U in V. Se V è finito-dimensionale, questo è esattamente:

\mbox{codim}_V(U) = \dim(V)-\dim(U)

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di V.

Ad esempio, sia X=\R^2 l'usuale piano cartesiano e Y una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente X/Y rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in X parallele a Y. In generale, se V è una somma diretta di sottospazi U e W:

V=U\oplus W

allora il quoziente V/U è naturalmente isomorfo a W. Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio Lp.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Somma diretta[modifica | modifica sorgente]

In presenza di una somma diretta:

 V = U\oplus W

lo spazio quoziente V/U è isomorfo in modo naturale a W. L'isomorfismo è dato da:

 v = u+w \mapsto w

dove un elemento v di  V è scritto in un unico modo come u+w, con u,w appartenenti rispettivamente a U,W.

Dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

 0 \to U \to V \to V/U \to 0

In particolare:

\dim V/U = \dim V- \dim U

Spazi di Banach[modifica | modifica sorgente]

Se X è uno spazio di Banach e M un sottospazio chiuso di X, allora il quoziente X/M è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su X/M si pone:

 \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X

Lo spazio vettoriale quoziente X/M è dunque completo rispetto alla norma.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sia C[0,1] lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo [0,1], equipaggiato con la norma del sup. Sia M il sottospazio delle funzioni tali che f(0)=0. Allora la classe di equivalenza di qualche funzione g è determinata dal suo valore in 0, e lo spazio quoziente C[0,1]/M è isomorfo a \R.

Se X è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente X/M è isomorfo al complemento ortogonale di M.

Generalizzazione a spazi localmente convessi[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga X uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme \{p_\alpha : \alpha \in A\}, con A un insieme di indici. Sia M un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme q_\alpha su X/M nel seguente modo:

q_\alpha([x]) = \inf_{x\in [x]} p_\alpha(x)

Allora X/M è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre X è metrizzabile allora lo è anche X/M. Se X è uno spazio di Fréchet allora lo è anche X/M.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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